[論文レビュー] Numerably Contractible Spaces

Eugenia Schwamberger, R. M. Vogt|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可算被覆において各包含写像がホモトピー同値であるような位相空間（可算的コントラクトブル空間）の体系的研究を提供し、ホモトピー論におけるその中心的役割を示している。基底空間が道路連結で可算的コントラクトブルであるとき、位相的実現関手がファイブレーション系列を保存することを証明しており、これはループ空間関手がホモトピー型で実現と可換であることを意味する。また、位相的オペラッド上の自由代数が可算的コントラクトブルであるための十分条件も確立している。

ABSTRACT

Numerably contractible spaces play an important role in the theory of homotopy pushouts and pullbacks. The corresponding results imply that a number of well known weak homotopy equivalences are genuine ones if numerably contractible spaces are involved. In this paper we give a first systematic investigation of numerably contractible spaces. We list the elementary properties of the category of these spaces. We then study simplicial objects in this category. In particular, we show that the topological realization functor preserves fibration sequences if the base is path-connected and numerably contractible in each dimension. Consequently, the loop space functor commutes with realization up to homotopy. We give simple conditions which assure that free algebras over a topological operad are numerably contractible.

研究の動機と目的

• 代数的トポロジーにおける可算的コントラクトブル空間（別名 Dold 空間）の基礎的理論を確立すること。
• これらの空間の文脈における単体的対象と位相的実現の振る舞いを調査すること。
• 位相的オペラッド上の自由代数が可算的コントラクトブルであるための条件を特定すること。
• 関与する空間が可算的コントラクトブルである場合に、古典的なホモトピー同値が真の同値に拡張されることを示し、ホモトピー同値性を強化すること。
• Dold 空間を用いた反例を構成することで、ホモトピー論における閉じたクラスの限界を探索すること。

提案手法

• 各包含写像がホモトピー同値である可算開被覆を用いて、可算的コントラクトブル空間を定義する。
• ファイブレーションにおける分割関数の定理（Dold の定理）を用い、ホモトピー下への引き戻しと上への押し出しに関する強化された結果を導出する。
• 可算的コントラクトブル空間の圏における単体的対象に、位相的実現関手を適用する。
• 基底空間が道路連結で可算的コントラクトブルであるとき、実現がファイブレーション系列を保存することを証明する。
• 道連結性とホモトピー不変性の性質を用い、ホモトピー拡張性を組み合わせることで、ループ空間関手と実現関手がホモトピー型で可換であることを示す。
• 道連結性とホモトピー不変性を用いて、位相的オペラッド（例えば、小さな n-立方体オペラッド）上の自由代数が可算的コントラクトブルであるための基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算的コントラクトブル空間が関与する場合、弱ホモトピー同値が真のホモトピー同値に拡張される条件は何か？
• RQ2 単体的対象が可算的コントラクトブル空間上に定義されたとき、位相的実現関手はファイブレーション系列を保存するか？
• RQ3 位相的オペラッド上の自由代数が、可算的コントラクトブル空間上にある場合、その自由代数自体が可算的コントラクトブルであるための条件は何か？
• RQ4 可算的コントラクトブルな基底空間に対して、ループ空間関手はホモトピー型で実現と可換になるか？
• RQ5 CW 複体のホモトピー型を持たない Dold 空間は存在するか？その場合、ホモトピー分類にどのような意味があるか？

主な発見

• 基底空間が道路連結で可算的コントラクトブルである限り、位相的実現関手はファイブレーション系列を保存し、これによりループ空間関手がホモトピー型で実現と可換であることが保証される。
• 道連結で可算的コントラクトブルな空間上の小さな n-立方体オペラッド上の自由代数は、可算的コントラクトブルであることが示された。これは、May と Meiwes の結果を一般化するものである。
• X が道連結で可算的コントラクトブルであるとき、対称積 $SP_n(X)$ は Dold 空間である。これは、可換オペラッド上の自由代数のリトラクトであるためである。
• CW 複体のホモトピー型を持たない Dold 空間が存在する。例えば、$\{1/n\} \cup \{0\}$ の非還元的ホモトピー型の懸垂は、非有限生成のホモロジーを持つ。
• Dold 空間間の弱ホモトピー同値は、ホモトピー同値とは限らない。前述の懸垂空間の CW 近似によってその反例が示された。
• Dold 空間のループ空間が Dold 空間でないこともある。例えば、有理数 $\mathbb{Q}$ の神経は Dold 空間に実現されるが、そのループ空間は Dold 空間ではない。