[論文レビュー] Numerical invariants of Fano schemes of linear subspaces on complete intersections

Dang Tuan Hiep|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、期待次元が1である一般の完全交差 $X \subset \mathbb{P}^n$ における $k$-次元線型部分空間のファノ汎域 $F_k(X)$ について、種数-次数公式を確立する。対称ベクトル束の冪とグラスマンニアン上の積分公式を用いて次数の公式を導出し、定義する超曲面の次数と周辺次元の関数として種数と次数の明示的表現を得る。

ABSTRACT

The goal of this paper is to explore the genus and degree of the Fano scheme of linear subspaces on a complete intersection in a complex projective space. Firstly, suppose that the expected dimension of the Fano scheme is one, we prove a genus-degree formula. Secondly, we give a degree formula for the Fano scheme.

研究の動機と目的

• 期待次元が1である場合のファノ汎域 $F_k(X)$ の種数-次数公式を導出すること。
• 任意の期待次元 $\delta(n,\underline{d},k) \geq 0$ に対して、プルーチェ埋め込み下での $F_k(X)$ の次数を計算すること。
• ハイパーサーフェス上における直線の曲線に関する古典的結果を、高次元完全交差へ一般化すること。
• 判別式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ を組み込むことにより、次数の公式の構造的に異なる新しい証明を提供すること。
• ファノ汎域 $F_k(X)$ の次数と、グラスマンニアン上での対称多項式の特定の単項式の係数との間の関係を確立すること。

提案手法

• グラスマンニアン $G(k+1,n+1)$ 上でのチャーン類の積分として、$F_k(X)$ の次数をガウス・ボンネの公式を用いて表現する。
• 分裂原理を適用し、$\operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$ の最高チャーン類をチャーン根 $x_0,\dots,x_k$ の対称多項式として表現する。
• 参考文献[12, 定理3]の積分公式を用い、線型形式と判別式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ の積における $x_0^n \cdots x_k^n$ の係数を計算することで次数を求める。
• 標準束 $S^\vee$ 及びその対称冪の構造を活用し、帰納法と普遍的性質を用いてチャーン類を計算する。
• $F_k(X)$ が $\bigoplus_{i=1}^r \operatorname{Sym}^{d_i}S^\vee$ のグローバルセクションの零点集合であることに着目し、正規バンドルおよびチャーン類の技法を適用可能にする。
• グラスマンニアンの接バンドルの第一チャーン類 $c_1(T_G) = (n+1)\sigma_1$ を用いて、付着公式により種数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待次元が1である場合のファノ汎域 $F_k(X)$ の種数は何か？
• RQ2 任意の余次元の完全交差に対して、プルーチェ埋め込み下での $F_k(X)$ の次数はどのように計算できるか？
• RQ3 ファノ汎域 $F_k(X)$ の次数と、標準束のチャーン根に関する対称多項式の係数との間の明確な関係は何か？
• RQ4 判別式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ を含めることで、従来の手法と比較して次数の計算にどのような変化が生じるか？
• RQ5 種数-次数公式は、曲線を越えて高次元ファノ汎域へ一般化可能か？

主な発見

• 期待次元 $\delta(n,\underline{d},k) = 1$ のとき、ファノ汎域 $F_k(X)$ は、プルーチェ埋め込み下での次数 $d$ を持つ滑らかで連結な射影的曲線であり、種数は $g = 1 + \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^r \binom{d_i + k}{k+1} - n - 1\right)d$ で与えられる。
• ファノ汎域 $F_k(X)$ の次数 $d$ は $d = \frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$ で与えられ、ここで $c(n,\underline{d},k)$ は多項式 $\prod_{i=1}^r \prod_{\substack{a_0+\cdots+a_k=d_i \\ a_i \in \mathbb{N}}} (a_0x_0 + \cdots + a_kx_k) \cdot (x_0 + \cdots + x_k)^{\delta(n,\underline{d},k)} \cdot \prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ における $x_0^n \cdots x_k^n$ の係数である。
• $\delta(n,\underline{d},k) = 0$ の場合、一般の完全交差上での $k$-次元部分空間の個数は $\frac{c(n,\underline{d},k)}{(k+1)!}$ であり、これは $F_k(X)$ の次数と一致する。
• 種数の公式は、四次的三重空間および $\mathbb{P}^5$ 内の型 $(2,3)$ の完全交差に関する Markusevich と Tennenison の結果を一般化する。
• 従来の研究とは異なり、バーデルモンド式ではなく判別式 $\prod_{i\neq j}(x_i - x_j)$ を組み込むことで、構造的に異なる次数の公式を得た。
• 明示的な例により公式の妥当性を確認した：$\mathbb{P}^4$ 内の四次的三重空間では $d = 320$, $g = 801$；$\mathbb{P}^5$ 内の $(2,3)$-完全交差では $d = 180$, $g = 271$。