[論文レビュー] Tautological module and intersection theory on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノード曲線のヒルベルト汎関係の交叉理論に向けた同型的モジュールを構築し、判別子除集合の作用を用いた、同型的バンドルのチャーン類を再帰的に計算する計算法を導入する。これにより、チャーン数や数え上げ的不変量の明示的計算が可能となり、特に genus 3 のハイパーオービック・ロケイリオンの基本類を解明し、ノード曲線族の数え上げ幾何学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study intersection theory on the relative Hilbert scheme of a family of nodal-or-smooth curves, over a base of arbitrary dimension. We introduce an additive group called 'discriminant module', generated by diagonal loci, node scrolls, and twists thereof, and determine the action of the discriminant or big diagonal divisor on this group by intersection. We show that this suffices to determine arbitrary polynomials in Chern classes, in particular Chern numbers, for the tautological vector bundles on the Hilbert schemes, which are closely related to enumerative geometry. The latest version includes some new explicit computations and reference to a computer program due to G. Liu implementing our intersection calculus.

研究の動機と目的

• 相対ヒルベルト汎関係のノード曲線族に対する体系的な交叉理論の構築。
• 数え上げ幾何学におけるノード曲線族の研究に不可欠な、ヒルベルト汎関係上の同型的バンドルのチャーン数を計算するという未解決問題に取り組む。
• 判別子除集合の作用を用いて、同型的バンドルのチャーン類の多項式に対する再帰的計算法を提供する。
• モジュライ空間におけるハイパーオービック・ロケイリオンの基本類のような明示的不変量を計算する。
• 古典的な数え上げ公式（例：マルチセカント）を、同型的サイクルを用いてノード曲線族へ一般化する。

提案手法

• 対角的局所、ノード・スクリュウ、およびそれらの捩れから生成される同型的モジュールを導入し、幾何的サイクルの加法群を形成する。
• 判別子（大きな対角）除集合を定義し、フラグレット・ヒルベルト汎関係を用いて、その作用を同型的モジュール上で再帰的に決定する。
• 分割原理と移行定理を用いて、同型的バンドルのチャーン類をフラグレット・ヒルベルト汎関係上の判別子作用に関連付ける。
• テンソル代数上のノルム作用素と対角作用素を用いて、同型的サイクル作用のモデルを構築する。
• 境界データと点的移行を用いて、計算を境界ストラトゥム上のマムフォードの同型的クラスに還元する。
• コンツェビッチによるウィッテン予想の証明を活用し、境界ストラトゥム上のマムフォードクラスを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード曲線族のヒルベルト汎関係上の同型的バンドルのチャーン数を体系的に計算する方法は何か？
• RQ2 ノード曲線族の相対ヒルベルト汎関係上の交叉理論の再帰的構造は何か？
• RQ3 判別子除集合およびそのべきが同型的サイクルに作用する仕組みは何か？ これによりチャーン類多項式がどのように特定されるか？
• RQ4 安定曲線のモジュライ空間における genus 3 のハイパーオービック・ロケイリオンの基本類は何か？
• RQ5 古典的な数え上げ公式（例：4-セカント直線）は、ノード曲線族へどのように一般化されるか？

主な発見

• genus 3 におけるハイパーオービック・ロケイリオンの基本類は、[\mathcal{HE}] = 9\lambda_1 - \delta_0 - 3\delta_1 として計算され、ハリスとマムフォードの結果を確認する。
• 本稿は、判別子除集合の作用を用いて、同型的バンドルのチャーン類の任意の多項式を再帰的に計算する方法を提供する。
• ヒルベルト汎関係上の同型的バンドルのチャーン数は、境界ストラトゥム上のマムフォードの同型的クラスに還元され、コンツェビッチによるウィッテン予想の証明を用いて計算可能である。
• 判別子除集合が同型的モジュールに作用する仕組みは、フラグレット・ヒルベルト汎関係を用いて完全に再帰的に決定される。
• 本手法は、古典的なマルチセカントの公式（例：4-セカント直線）をノード曲線族へ成功裏に一般化する。
• 本フレームワークは、ヒルベルト汎関係上の同型的バンドルのチャーン数を計算するという未解決問題を解決し、以前 [22] で未解決のまま残っていた問題を解消する。