[論文レビュー] On 'categories' of quantum field theories

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時空幾何に基づいて構造化された量子場理論（QFT）のカテゴリカルな枠組みを提案し、物理学の深い数学的予想を統一的な言語で表現可能にする。Riemannian、共形的など、異なる構造（例：Riemannian、共形的）に対するQFTのカテゴリを導入し、点演算子と相関関数を定義し、$ \mathcal{M}_{ \text{Higgs}}$ および $ \mathbb{VOA}$ といったファンクターを通じて、ハイパーカイリィアン・コーンと頂点演算子代数へと接続する。これにより、$G = \mathrm{SU}(3N), \mathrm{SU}(4N), \mathrm{SU}(6N)$ に対して $X_G$ と $ \mathbb{V}_G$ に関する正確な予想が得られ、明示的な特徴式と $E_6, E_7, E_8$ W代数への関連が示される。

ABSTRACT

We give a rough description of the 'categories' formed by quantum field theories. A few recent mathematical conjectures derived from quantum field theories, some of which are now proven theorems, will be presented in this language.

研究の動機と目的

• 量子場理論（QFT）を孤立した対象としてではなく、その相互関係や構造的性質を捉えるカテゴリとして形式化すること。
• 最近のQFTにおける双対性や双対性カスケードを含む、物理的予想の起源を明確にする数学的言語を提供すること。
• ファンクター $ \mathcal{M}_{ \text{Higgs}}$ および $ \mathbb{VOA}$ を通じて、QFT、ハイパーカイリィアン・コーン $X_G$、頂点演算子代数 $\mathbb{V}_G$ の間の正確な予想的関係を確立すること。
• 新しいファンクター $Z_{ \text{Nek}}$ を用いて、瞬きモジュライ空間のコホロジーと単純ラク型のW代数との接続を確立すること。
• Hall-Littlewood多項式とMacdonald理論を用いて、$X_G$ および $\mathbb{V}_G$ の明示的な特徴式を提示すること。

提案手法

• 時空構造 $\mathcal{S}$（例：Riemannian、共形的、スピン構造）を持つ多様体上でのQFTのカテゴリ $\mathcal{Q}^d_\mathcal{S}$ を定義する。
• 各QFT $Q$ に対して、点演算子の空間 $\mathcal{V}_Q$ を割り当て、回転群や共形群（例：$\mathrm{SO}(d)$、$\mathrm{Spin}(d)$、$\mathrm{SO}(d+1,1)$）の作用とその不変部分空間 $\mathcal{V}_Q^{\text{inv}}$ を定義する。
• 多様体 $M$ 上の点演算子 $\varphi_1(x_1)\cdots\varphi_n(x_n)$ に対する複素数値振幅として、相関関数 $Z_Q(M; \varphi_1(x_1)\cdots\varphi_n(x_n))$ を構成する。
• 共形QFTにおいて、状態-演算子対応 $\mathcal{V}_Q \simeq \mathcal{H}_Q(S^{d-1})$ を用いて、球面上の状態と演算子を関連付ける。
• QFTをハイパーカイリィアン・コーンへと写像するファンクター $\mathcal{M}_{\text{Higgs}}: \mathcal{Q}^d_\mathcal{S} \to \text{hyperkähler cones}$ と、頂点演算子代数へと写像するファンクター $\mathbb{VOA}: \mathcal{Q}^d_\mathcal{S} \to \text{VOAs}$ を定義する。
• Hall-Littlewood多項式とMacdonald測度積分を用いて、$X_G = \mathcal{M}_{\text{Higgs}}(T_G)$ および $\mathbb{V}_G = \mathbb{VOA}(T_G)$ の特徴式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QFT同士の相互関係を、カテゴリカルな枠組みでどのように形式化できるか？
• RQ2 点演算子の空間 $\mathcal{V}_Q$ 及びその回転群・共形群による不変部分空間の正確な数学的構造は何か？
• RQ3 ファンクター $\mathcal{M}_{\text{Higgs}}$ と $\mathbb{VOA}$ は、それぞれQFTをハイパーカイリィアン・コーンと頂点演算子代数へどのように写像するか？
• RQ4 $T_G = S_{G,0,3}$ に対応するハイパーカイリィアン・コーン $X_G$ および頂点演算子代数 $\mathbb{V}_G$ の明示的特徴式は何か？
• RQ5 新しいファンクター $Z_{\text{Nek}}$ を用いて、瞬きモジュライ空間 $\mathcal{M}_{G,n}^{\text{inst}}$ のコホロジーが、$G$ 型のW代数の作用を担うことが示せるか？

主な発見

• $G = \mathrm{SU}(3N)$ に対して、ハイパーカイリィアン・コーン $X_G = \mathcal{M}_{\text{Higgs}}(T_G)$ は、$X_{\mathrm{SU}(3N)}\wr[N^3],[N^3],[N^3] = \mathcal{M}^{\text{inst}}_{E_6,N}$ を満たし、$E_7$ および $E_8$ に対しても同様の恒等式が成り立つ。
• 頂点演算子代数 $\mathbb{V}_G = \mathbb{VOA}(T_G)$ は、$\mathbb{V}_{\mathrm{SU}(3)} = (\hat{\mathfrak{e}_6})_{-6}$, $\mathbb{V}_{\mathrm{SU}(4)}\wr[2,2],[1^4],[1^4] = (\hat{\mathfrak{e}_7})_{-8}$, および $\mathbb{V}_{\mathrm{SU}(6)}\wr[3,3],[2,2,2],[1^6] = (\hat{\mathfrak{e}_8})_{-12}$ を満たす。
• ハイパーカイリィアン・コーン $X_G$ の特徴式は、$\mathop{\mathrm{ch}} X_G(z_1,z_2,z_3) = \sum_{\lambda} \frac{\prod_{i=1}^3 K_0(z_i)\underline{H}_\lambda(z_i)}{K_{e_{\text{prin}}}\,\underline{H}_\lambda(q^\rho)}$ で与えられ、ここで $\underline{H}_\lambda$ は正規化されたHall-Littlewood多項式である。
• 頂点演算子代数 $\mathbb{V}_G$ の特徴式は、$\mathop{\mathrm{ch}} \mathbb{V}_G(z_1,z_2,z_3) = \sum_{\lambda} \frac{\prod_{i=1}^3 K_0(z_i)\chi_\lambda(z_i)}{K_{e_{\text{prin}}}\,\chi_\lambda(q^\rho)}$ で与えられ、$\chi_\lambda$ は $G$ の既約特徴式である。
• $(X_G \times X_G)/\!/\!/G \simeq (T_G \times T_G)\not{\!\!\!\!\!-} G$ として、$G^4$ および $S_4$ 対称性を持つハイパーカイリィアン・コーン $X_G$ の構成が実現され、$S_4$ 対称性が確認される。
• W代数が $\mathcal{H}_G = \oplus_n H_G^*(\mathcal{M}_{G,n}^{\text{inst}})$ に作用することを、ファンクター $Z_{\text{Nek}}$ を介して予想したが、幾何的表現論により現在、それが証明されている。