[論文レビュー] On Difference of SOS Decompositions and Difference of SOS Convex Decompositions for Polynomials

Yi-Shuai Niu|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の多変数多項式を和の平方の差（DSOS）および和の平方の凸関数の差（DSOSC）多項式として表現するための新しい分解手法を提案する。DSOSおよびDSOSC多項式がℝ[𝐱]と同型なベクトル空間を形成することを証明することで、著者たちはこれらの分解を構築するためのアルゴリズムを開発し、一般の多項式最適化問題をDCプログラミングにより効率的に解くことを可能にした。提示された例を通じて、正しさと性能が実証された。

ABSTRACT

We propose in this paper some decomposition methods for reformulating any multivariate polynomial into DSOS (Difference of Sums-Of-Squares) and DSOSC (Difference of Sums-Of-Squares Convex) polynomials. We firstly prove that the set of all DSOS and DSOSC polynomials are vector space and equivalent to $\R[\x]$. Then, based on this equivalence, we propose several algorithms to formulate any polynomial into DSOS decompositions, and extend these approaches to generate DSOSC decompositions (i.e., DC (Difference of Convex) decompositions) which could be further used to solve general polynomial optimization via DC programming approaches. Some examples are given in each algorithm to illustrate how to use our methods in practice, and demonstrate the correctness and good performance of our decomposition techniques.

研究の動機と目的

• 任意の多変数多項式をDSOSおよびDSOSC形式に再定式化するための体系的な分解技術の開発。
• DSOSおよびDSOSC多項式の集合がℝ[𝐱]と同型なベクトル空間を形成することを確立し、表現の完全性を保証すること。
• これらの分解を、多項式最適化問題への応用を想定した実用的アルゴリズムへと拡張すること。
• DSOSC分解における凸性構造を活用することで、一般の多項式最適化にDCプログラミング手法を適用可能にする。

提案手法

• DSOS多項式の集合がℝ[𝐱]と同型なベクトル空間を形成することを証明し、すべての多項式がDSOS分解を有することを保証する。
• 代数的変形と和の平方表現を用いて、DSOS分解を計算するためのアルゴリズム的手順を開発する。
• 和の平方構造に凸性制約を組み込むことで、DSOSフレームワークをDSOSC分解へと拡張する。
• DSOSCとDC分解の同値性を活用し、多項式最適化におけるDCプログラミング手法の適用を可能にする。
• 例題の多項式に対してアルゴリズムを実装・テストし、正しさと性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多変数多項式は、和の平方の差（DSOS）多項式として表現可能か？
• RQ2 DSOS多項式の集合は線形結合に関して閉じており、多項式環ℝ[𝐱]と同型か？
• RQ3 DSOS分解は、実用的用途を想定したアルゴリズム的手順によって体系的に計算可能か？
• RQ4 DSOS分解をさらに構造化することで、DCプログラミングに利用可能なDSOSC（凸和の平方の差）形式に拡張可能か？
• RQ5 提案された分解手法は、一般の多項式最適化問題を解く際にどの程度効果的か？

主な発見

• すべてのDSOS多項式の集合はℝ[𝐱]と同型なベクトル空間を形成し、すべての多項式がDSOS分解を有することを保証する。
• すべてのDSOSC多項式の集合もℝ[𝐱]に等価なベクトル空間を形成し、凸性に基づく分解の表現の完全性を保証する。
• 提案されたアルゴリズムは、テスト用多項式に対してDSOSおよびDSOSC分解を正常に生成し、正しさと実用的妥当性を示した。
• DSOSC分解により、一般の多項式最適化問題に直接DCプログラミング手法を適用可能となった。
• 実験的例から、分解手法の有効性と実用的性能が実証された。