[論文レビュー] On Eisenstein ideals and the cuspidal group of $J_0(N)$

Hwajong Yoo|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、平方因子なしで $N > 6$ であるレベル $N$ のヘッケ代数のすべてのアイゼンスタイン極大イデアルが、ヤコビアン $J_0(N)$ の尖点部分群 $Π_N$ に非自明に作用することを証明するリーベトの予想を証明する。特定の尖点的除数 $C_{M,N}$ の指数を計算することにより、著者たちはすべてのアイゼンスタイン極大イデアル $Τ$ に対して $Π_N[Τ] \neq 0$ を示し、予想を完全に一般化して確認した。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}_N$ be the cuspidal subgroup of the Jacobian $J_0(N)$ for a square-free integer $N>6$. For any Eisenstein maximal ideal $\mathfrak{m}$ of the Hecke ring of level $N$, we show that $\mathcal{C}_N[\mathfrak{m}] eq 0$. To prove this, we calculate the index of an Eisenstein ideal $\mathcal{I}$ contained in $\mathfrak{m}$ by computing the order of a cuspidal divisor annihilated by $\mathcal{I}$.

研究の動機と目的

• ヘッケ代数 $\mathbb{T}(N)$ のすべてのアイゼンスタイン極大イデアル $\mathfrak{m}$ が、$J_0(N)$ の尖点部分群 $\mathcal{C}_N$ に非自明に作用することを証明すること。
• イデアル $I_{M,N}$ の構造を用いて、$\mathbb{T}(N)$ のすべてのアイゼンスタイン極大イデアルを分類すること。ここで $I_{M,N}$ は $U_p - 1$、$U_q - q$、および古典的アイゼンスタインイデアル $\mathcal{I}_0(N)$ によって生成される。
• 算術関数 $\varphi(N)$、$\psi(N/M)$、および補正係数 $h \in \{1,2\}$ を用いて、尖点的除数 $C_{M,N} = \sum_{d\mid M} (-1)^{\omega(d)} P_d$ の正確な位数を計算すること。
• アイゼンスタインイデアル $I_{M,N}$ の指数と $C_{M,N}$ の位数の間の明確な関係を確立し、2の冪を除いて等しいことを示すこと。
• 特に $\ell = 2$ の場合を含む、$\ell$-進アイゼンスタイン極大イデアルのすべてのケースを分析することにより、主定理を完成させること。レベル低下法および mod $\ell$ のモジュラー形式の技法を用いる。

提案手法

• ヘッケ代数 $\mathbb{T}(N)$ のアイゼンスタイン極大イデアル $\mathfrak{m}$ を、ある $N$ の真の因子 $M$（$M \neq 1$）に対して $I_{M,N} = (U_p - 1, U_q - q, \mathcal{I}_0(N))$ を含むものとして分類する。
• 尖点的除数 $C_{M,N} = \sum_{d\mid M} (-1)^{\omega(d)} P_d$ を定義する。ここで $P_d$ は $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ における $1/d$ に対応する尖点である。
• $C_{M,N}$ の位数を $\mathrm{num}\left( \frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24} \times h \right)$ として計算する。ここで $h = 2$ となるのは $N = M \equiv 1 \pmod{8}$ または $N = 2M$、$M \equiv 1 \pmod{8}$ の場合であり、それ以外は $h = 1$ である。
• $N/M$ が奇数のとき、アイゼンスタインイデアル $I_{M,N}$ の指数が $C_{M,N}$ の位数と正確に等しいことを確立する。
• $N/M$ が偶数のとき、$I_{M,N}$ の指数が $C_{M,N}$ の位数と2の冪を除いて等しいことを示す。
• $\ell$ 進モジュラー形式とレベル低下法を用いて、$\ell$ が奇数で $\ell \nmid \varphi(N)$ のとき、$\mathfrak{m} = (\ell, I_{1,N})$ が極大でないことを除外する。
• $\ell = 2$ の場合を、既知の mod 2 モジュラー形式の結果と $J_0(N)$ の構造（特に $N$ が素数または $N = 2M$ の場合）を用いて、場合ごとに分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッケ代数 $\mathbb{T}(N)$ のすべてのアイゼンスタイン極大イデアル $\mathfrak{m}$ は、$J_0(N)$ の尖点部分群 $\mathcal{C}_N$ に非自明に作用するか？
• RQ2 算術関数 $N$ と $M$ を用いて、尖点的除数 $C_{M,N}$ の正確な位数は何か？
• RQ3 特に2進的ねじれが存在する場合に、アイゼンスタインイデアル $I_{M,N}$ の指数と $C_{M,N}$ の位数の関係は何か？
• RQ4 mod $\ell$ モジュラー形式を用いて、$\ell$ が奇数で $\ell \nmid \varphi(N)$ のとき、$\mathfrak{m} = (\ell, I_{1,N})$ の極大性を除外できるか？
• RQ5 特に $N = M$ または $N = 2M$ の場合に、$\ell = 2$ のとき $\mathcal{C}_N[\mathfrak{m}] \neq 0$ となる条件は何か？

主な発見

• 主定理により、リーベトの予想が確認された：$\mathcal{C}_N[\mathfrak{m}] \neq 0$ が $\mathbb{T}(N)$ のすべてのアイゼンスタイン極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対して成り立つ。
• 尖点的除数 $C_{M,N}$ の位数は $\mathrm{num}\left( \frac{\varphi(N)\psi(N/M)}{24} \times h \right)$ である。ここで $h = 2$ となるのは $N = M \equiv 1 \pmod{8}$ または $N = 2M$、$M \equiv 1 \pmod{8}$ の場合であり、それ以外は $h = 1$ である。
• $N/M$ が奇数のとき、アイゼンスタインイデアル $I_{M,N}$ の指数は $C_{M,N}$ の位数と正確に等しい。
• $N/M$ が偶数のとき、$I_{M,N}$ の指数は $C_{M,N}$ の位数と2の冪を除いて等しい。
• $\ell = 2$ の場合、$N = M$ または $N = 2M$ で $\omega(M) \geq 1$ のとき、$C_{p,N}$ の位数が2で割り切れるので、$\mathcal{C}_N[\mathfrak{m}] \neq 0$ であることを示すことにより解決された。
• レベル低下法を用いた $\ell$ 進モジュラー形式により、$\ell$ が奇数で $\ell \nmid \varphi(N)$ のとき、$\mathfrak{m} = (\ell, I_{1,N})$ が極大でないことを除外した。