[論文レビュー] On Hopf algebras over the unique $12$-dimensional Hopf algebra without the dual Chevalley property

Rongchuan Xiong|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、双対チーガルレー性質を有さない12次元ホップ代数 $χ$ 上の有限次元ホップ代数を、一般化されたリフトメソッドを用いて分類する。厳密に階数付きの図式と、$χ$ 上のイェッター＝ドリンフェルトカテゴリにおける分解不能な無限小ブレード構造を分析することで、次元18および36の新しいニchlス代数と、次元216の2つの新しいホップ代数族を同定する。分類は、$χ^{cop}$ のドリンフェルト双対の射影的クラス環の計算と、歪微分を用いた関係の明示的記述に依存する。

ABSTRACT

Let $\mathds{k}$ be an algebraically closed field of characteristic zero. We determine all finite-dimensional Hopf algebras over $\mathds{k}$ whose Hopf coradical is isomorphic to the unique $12$-dimensional Hopf algebra $\mathcal{C}$ without the dual Chevalley property, such that the diagrams are strictly graded and the corresponding infinitesimal braidings are indecomposable objects in ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$. In particular, we obtain new Nichols algebras of dimension $18$ and $36$ and two families of new Hopf algebras of dimension $216$.

研究の動機と目的

• 双対チーガルレー性質を欠く唯一の12次元ホップ代数 $χ$ 上の有限次元ホップ代数を分類すること。
• 関連する次数付き構造が厳密に階数付きであり、${}_{χ}^{χ}\mathcal{YD}$ 内で無限小ブレード構造が分解不能であるようなすべてのホップ代数を特定すること。
• 一般化されたリフトメソッドを用いて、有限次元ニchlス代数およびホップ代数の新しい例を構成すること。
• $χ^{cop}$ のドリンフェルト双対の射影的クラス環を計算し、それを用いて表現およびブレード構造を分類すること。

提案手法

• 一般化されたリフトメソッドを用いて、余基底フィルトレーションを標準的フィルトレーション ${ A_{[n]} \u007d_{n\geq 0}$ に置き換え、$R$ が ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 内の連結な階数付き braided ホップ代数であるような、$\operatorname{gr}A \cong R \sharp \mathcal{C}$ という階数付きホップ代数構造を得る。
• ${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 内で $\mathcal{B}(V)$ が有限次元であるようなすべての分解不能対象 $V$ を特定する。
• $\mathcal{D}$ のドリンフェルト双対 $\mathcal{D}$ の射影的クラス環 $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$ を計算する。ここで $J$ は、単純および射影的 $\mathcal{D}$-加群のテンソル積分解を符号化する。
• 歪微分とbraided コンmutator を用いて、有限次元ニchlス代数 $\mathcal{B}(V)$ の明示的生成子と関係式を提示する。
• $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ を満たすホップ代数 $A$ が、$\mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ または $V \cong V_{1,j+3}$ のときの1パラメータ変形 $\mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$ に同型であることを証明する。
• 次元数え上げとコホモロジー的議論を用いて、$A_{[2]}$ の関係とコプロダクト計算に基づき、$A \cong \mathfrak{B}_{i,j}(\mu)$ となる $\mu \in \mathbb{k}$ が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対チーガルレー性質を欠く12次元ホップ代数 $\mathcal{C}$ 上の有限次元ホップ代数で、厳密に階数付きの図式と、${}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ 内で分解不能な無限小ブレード構造を持つものはどれか？
• RQ2 分解不能な $V \in {}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\mathcal{YD}$ に対する有限次元ニchlス代数 $\mathcal{B}(V)$ の完全な生成子および関係式の集合は何か？
• RQ3 $\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ を満たすホップ代数 $A$ はどのようなものか。また、同型を除いてどのように分類されるか？
• RQ4 ドリンフェルト双対 $\mathcal{D} = D(\mathcal{C}^{cop})$ の射影的クラス環およびテンソル積分解は、$\mathcal{B}(V)$ および関連ホップ代数の分類にどのように制約を加えるか？
• RQ5 一般化されたリフトメソッドにより $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$ を用いて構成された次元216の新しいホップ代数は、異なる $\mu$ に対して互いに同型でないか？

主な発見

• この論文は、次元216の2つの新しいホップ代数族を構成し、$j \in \{1,5\}$ および $\mu \in \mathbb{k}$ に対して $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$ に同型であり、$\dim \mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu) = 216$ である。
• 次元18および36の新しい有限次元ニchlス代数が、生成子と関係式を明示的に提示され、$\mathcal{B}(V_{4,j})$ および $\mathcal{B}(V_{1,j+3})$（$j \in \{1,5\}$）が含まれる。
• ニchlス代数 $\mathcal{B}(V)$ が有限次元であるのは、$V$ が単純であり、$\mathds{k}_{\chi^k}$（$k \in \{1,3,5\}$）に同型であるか、または特定の $V_{i,j}$（$(i,j) \in \Lambda \setminus \Lambda^*$）に同型である場合に限る。ここで $\Lambda = \{(i,j) \in \mathbb{I}_{0,5} \times \mathbb{I}_{0,5} \mid 3i \neq j\}$ である。
• $\mathcal{C}^{cop}$ のドリンフェルト双対 $\mathcal{D}$ の射影的クラス環は $r_p(\mathcal{D}) \cong \mathbb{Z}[y_0,\dots,y_5]/J$ として計算され、$J$ は $y_0^6 = 1$、$y_i y_3^2 = 2y_i y_0 + y_i y_0^2 + y_i$、$y_j y_{6-j} = y_3^2$、および $k+l \in \mathbb{I}_{0,5}$ のとき $y_k y_l = y_{k+l} + y_{k+l} y_0$ を含む関係によって生成される。
• $\mathcal{B}(\mathds{k}_{\chi^k}) \sharp \mathcal{C}$（$k \in \{1,3,5\}$）は、互いに同型でない。同様に、異なる $\mathcal{B}(V_{i,j})$ の族から得られるものも、異なるブレード構造のため同型でない。
• $V \cong V_{1,j+3}$ のとき、$\operatorname{gr}A \cong \mathcal{B}(V) \sharp \mathcal{C}$ を満たすホップ代数 $A$ は、ある $\mu \in \mathbb{k}$ に対して $\mathfrak{B}_{1,j+3}(\mu)$ に同型であり、同型型は $\mu$ に依存する。$\dim A = 216$ である。