[論文レビュー] On Integer Additive set-Sequential Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、整数加法的集合逐次ラベル化（IASSL）を導入し、集合逐次ラベル化を整数加法的集合インデクサに拡張する。頂点と辺が非負整数の集合にラベル付けされ、それらが地面集合 X の空でないすべての部分集合を一意に表現する。主な結果として、IASSL を許容するのは、孤立頂点をちょうど ρ′ 個もつ非連結グラフに限られ、ここで ρ′ は X の部分集合のうち、いかなる部分集合の和集合でも、またいかなる部分集合の和項でもないものの個数である。

ABSTRACT

A set-labeling of a graph $G$ is an injective function $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$, where $X$ is a finite set of non-negative integers and a set-indexer of $G$ is a set-labeling such that the induced function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow \mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus}f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective. A set-indexer $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$ is called a set-sequential labeling of $G$ if $f^{\oplus}(V(G)\cup E(G))=\mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$. A graph $G$ which admits a set-sequential labeling is called a set-sequential graph. An integer additive set-labeling is an injective function $f:V(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$, $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers and an integer additive set-indexer is an integer additive set-labeling such that the induced function $f^+:E(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. In this paper, we extend the concepts of set-sequential labeling to integer additive set-labelings of graphs and provide some results on them.

研究の動機と目的

• 集合逐次ラベル化の概念を整数加法的集合インデクサに拡張すること。
• 整数加法的集合逐次ラベル化（IASSL）を許容するグラフの存在および構造的性質を調査すること。
• 与えられた有限な地面集合 X の非負整数に対して、IASSL を許容するグラフを特徴づけること。
• グラフが整数加法的集合逐次インデクサ（IASSI）を許容するための必要十分条件を特定すること。

提案手法

• ℕ₀ を非負整数の集合とする。整数加法的集合ラベル化（IASL）を、単射関数 f: V(G) → P(ℕ₀) として定義する。
• f⁺: E(G) → P(ℕ₀) を、f⁺(uv) = f(u) + f(v) として定義し、これは頂点ラベルの和集合である。
• V(G) ∪ E(G) 上の拡張関数 f* を、f*(x) = f(x)（頂点の場合）および f*(e) = f⁺(e)（辺の場合）として定義する。
• f* が単射で、かつその像が地面集合 X の空でないすべての部分集合をカバーする必要があることを確立する。
• 和集合の集合論的性質を用いて、和集合でもなければ和項でもない部分集合の集合 B を特定し、その濃度を ρ′ とする。
• IASSL を許容するのは、正確に ρ′ 個の孤立頂点をもつグラフに限られ、そのような頂点は B の要素によってラベル付けされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限な地面集合 X の非負整数に対して、どのグラフが整数加法的集合逐次ラベル化（IASSL）を許容するか？
• RQ2 IASSI を許容するためのグラフが満たすべき構造的条件は何か？
• RQ3 連結グラフは IASSL を許容できるか？もしできないなら、その理由は何か？
• RQ4 IASSI を許容するグラフに必要な孤立頂点の正確な数は何か？また、この数は地面集合 X とどのように関係するか？
• RQ5 X の部分集合の和集合の性質は、IASSL の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 連結グラフは整数加法的集合逐次ラベル化（IASSL）を許容できない。なぜなら、このようなグラフでは頂点に {0} のラベルが必要となり、f* の単射性に反するからである。
• 木が地面集合 X に対して IASSL を許容するのは、ちょうど 2^{|X|-1} 個の頂点をもつときであり、方程式 2^{|X|} - 1 = 2n - 1 から導かれる。
• グラフが IASSI を許容するのは、ちょうど ρ′ 個の孤立頂点をもつときであり、ここで ρ′ は X の部分集合のうち、いかなる部分集合の和集合でも、またいかなる部分集合の和項でもないものの個数である。
• 集合 {0} は、任意の IASS-グラフにおいて頂点のラベルでなければならない。このような頂点は孤立でなければならない。なぜなら、他の任意の頂点と隣接させると単射性が破れるからである。
• 任意の空でない有限集合 X の非負整数に対して、X に対して少なくとも一つのグラフが IASSI を許容する。
• IASSI の存在は、地面集合 X の構造に強く依存する。異なる X では、同じグラフに対して IASSL が許容されたり、許容されなかったりする。