[論文レビュー] On projectively equivalent metrics near points of bifurcation

Vladimir S. Matveev|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、1つの計量が他方の計量に対して固有値が分岐する点の近傍における、リーマン計量の射影的同値性に関するレヴィ・チビタの定理を一般化する。固有値の重複度と幾何的構造に基づく分割手続きを用いて、このような点の近傍で計量が標準的な局所的積構造をもつことを証明し、固有値が重なり合う特異的状況においても、古典的な記述を拡張する。

ABSTRACT

Let Riemannian metrics $g$ and $\bar g$ on a connected manifold $M^n$ have the same geodesics (considered as unparameterized curves). Suppose the eigenvalues of one metric with respect to the other are all different at a point. Then, by the famous Levi-Civita's Theorem, the metrics have a certain standard form near the point. Our main result is a generalization of Levi-Civita's Theorem for the points where the eigenvalues of one metric with respect to the other bifurcate.

研究の動機と目的

• 1つの計量が他方の計量に対して固有値が分岐する点へ、レヴィ・チビタの古典的定理を射影的同値計量に拡張すること。
• 固有値の簡約性（重複度 ≥2）を示す点の近傍における射影的同値計量の局所的幾何的構造を記述すること。
• このような分岐点近傍における計量が、標準的な局所的積構造に分解可能であることを確立すること。
• 閉多様体上での射影的同値計量のグローバルな挙動を理解する基盤を提供すること。
• ある点で厳密に比例しない射影的同値計量をもつ多様体が、球面または標準的三重の積に局所的にモデル化されることを示し、測地線剛性予想を支援すること。

提案手法

• 分岐点（すなわち固有値が一致する点）を分類するために、テンソル $ g^{-1} \bar{g} $ の固有値構造を分析する。
• 2.2節の分割手続きを用いて、多様体を補間次元の直交するファイブレーションに局所的に分解する。
• 次元に関する帰納法を用い、既に標準形が知られている低次元の場合に問題を還元する。
• 次元1, 2, 3における「素性標準三重」（局所的モデル）を用い、その積が標準形を生成することを応用する。
• 固有値が相異なる計量はレヴィ・チビタ座標をもつが、幾何的分解を用いてこれを退化した場合に拡張する。
• 固有値の重複度が3以下である点が、余次元1または2の完全測地的部分多様体をなすことを利用し、局所的積構造を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの計量が他方の計量に対して固有値が分岐する点の近傍で、射影的同値計量はどのように振る舞うか？
• RQ2 固有値の簡約性が生じる点に対しても、古典的なレヴィ・チビタ座標記述を拡張できるか？
• RQ3 固有値が重なり合う場合、射影的同値計量の局所的幾何的構造は何か？
• RQ4 分岐点の存在が、射影的同値計量のグローバル分類にどのように影響するか？
• RQ5 局所的積構造は、固有値の退化した配置近傍におけるこのような計量の分類において、果たす役割は何か？

主な発見

• 1つの計量が他方の計量に対して固有値が分岐する任意の点の近傍で、計量は素性標準三重の積としての標準的局所形をもつ。
• 固有値の重複度が3以下の点は、完全測地的部分多様体をなす：重複度2では余次元2、重複度3では余次元1。
• 分岐点近傍の局所的構造は、低次元の標準計量三重の直積であり、帰納的分類を可能にする。
• 主結果（定理10）は、厳密に比例しない射影的同値計量をもつ連結多様体の任意の点が、素性標準三重の標準的積に微分同相な近傍をもつことを確立する。
• この結果は測地線剛性予想を支持する：ある点で計量が厳密に比例しない場合、多様体は球面の有限被覆として積に局所的にモデル化される。
• 線形変換による引き戻しによって、球面 $ S^n $ は厳密に比例しない射影的同値計量をもつことが確認され、標準的空間上にこのような計量が存在することを裏付ける。