[論文レビュー] On Some New Hadamard-Type Inequalities for Coordinated Quasi-convex Functions

M. Emіn Özdemіr, Çetin Yıldız+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2011

Mathematical Inequalities and ApplicationsMathematics参考文献 6被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、ℝ² 内の長方形 Δ 上の共通の準凸関数に対して、新しいハダマール型不等式を確立する。共通の準凸性に関連する新しい写像 G(t,s) を導入し、そのリプシッツ連続性および座標における凸性を証明する。主な貢献は、f の角点および中点における値を用いて、Δ 上での f の平均値を評価する鋭い積分不等式を確立することにある。

ABSTRACT

In this paper, we establish some Hadamard-type inequalities based on coordinated quasi-convexity. Also we define a new mapping associated to coordinated convexity and we prove some properties of this mapping.

研究の動機と目的

• 古典的なハダマール不等式を共通の準凸関数の設定に拡張すること。
• 長方形 Δ 上で f の挙動を一般化する新しい積分写像 G(t,s) を定義・分析すること。
• Δ の中心および角点における f の値を用いて、f の二重積分の鋭い境界を確立すること。
• 適切な仮定の下で、写像 G が座標において凸であり、リプシッツ条件を満たすことを証明すること。

提案手法

• 著者らは、Δ 上で G(t,s) = 1/((b−a)(d−c)) ∫∫ f(tx+(1−t)(a+b)/2, sy+(1−s)(c+d)/2) dxdy を定義する。
• 共通の準凸性の定義を用いて、G が [0,1]×[0,1] で座標に関して凸であることを証明する。
• f が変数に関して L-リプシッツ条件を満たすという仮定の下で、G がリプシッツ連続であることを示す。
• 三角不等式およびリプシッツ条件を用いて、|G(t₂,s₂)−G(t₁,s₁)| を |t₂−t₁| および |s₂−s₁| の関数として上界で抑え込む。
• 重要なステップとして、t および s について凸性に基づく不等式を統合し、最終的な二重積分の境界を導出する。
• 最終的な不等式は、Δ 上での f の平均値を、角点、辺の中点、および中心点 (a+b)/2, (c+d)/2 における f の重み付き和で関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通の準凸関数（共通の凸関数よりも広いクラス）に対して、ハダマール型不等式を拡張することは可能か？
• RQ2 共通の準凸性の下で、新しい積分写像 G(t,s) がどのような性質を有するか？
• RQ3 f が L-リプシッツ条件を満たすとき、G のリプシッツ連続性はどのように確立されるか？
• RQ4 Δ 上での f の二重積分の最も鋭い境界は、重要な点における f の値を用いてどのように得られるか？
• RQ5 得られた不等式は鋭いか？また、共通の凸関数に対して既知の不等式と比べてどうか？

主な発見

• 写像 G(t,s) は [0,1]×[0,1] で座標に関して凸であり、元の関数 f の挙動を一般化する。
• G(t,s) の下界は (0,0) で達し、f((a+b)/2, (c+d)/2) に等しくなる。一方、上界は (1,1) で Δ 上での f の二重積分の平均値に等しい。
• L-リプシッツ条件の下で、G はリプシッツ連続であり、(b−a)|t₂−t₁| + (d−c)|s₂−s₁| に比例する上界を有することが示された。
• 本稿では鋭い不等式を導出し、f の二重積分が、四隅、辺の中点、中心点における f の重み付き和によって上界で抑えられる。
• 最終的な不等式は鋭く、f が共通の凸関数である場合には既知の結果に還元される。
• 境界は次式で表される： ∫∫f/(b−a)(d−c) ≤ (1/4)[f(a,c)+f(b,c)+f(a,d)+f(b,d)]/4 + [f((a+b)/2,c)+f((a+b)/2,d)]/2 + f((a+b)/2,(c+d)/2)。