[論文レビュー] On some zeta-integrals for unramified representations of GSp(4)

David Loeffler|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、GSp(4) の非分岐表現と GL₂ の二つの表現のテンソル積に対して、Shintani 関数を用いて、対角 GL₂×GL₂ 行動に関する不変な三重線形形式を評価する zeta 積分を計算する。主な結果は、L 関数の Euler 因子に対する明示的な公式であり、これは GSp(4)×GL₂×GL₂ 上の自動形式および関連する Galois 表現の算術的研究に不可欠である。

ABSTRACT

This article is a companion to several works of the author and others on the arithmetic of automorphic forms for GSp(4), and their associated L-functions and Galois representations. These works require, at various points, an input from smooth representation theory over p-adic local fields: the computation of values of the unique trilinear form on an unramified representation of GSp(4) x GL(2) x GL(2) invariant under the diagonal GL(2) x GL(2), for various different input data. In this note, we carry out these local computations, using a general formula for Shintani functions due to Gejima.

研究の動機と目的

• GSp(4)×GL₂×GL₂ の非分岐表現における、対角 GL₂×GL₂ 行動に関して不変な一意の三重線形形式の値を計算すること。
• GSp(4) 及びその GL₂ との積の自動形式のグローバル算術的研究に必要な、zeta 積分の明示的局所計算を提供すること。
• 自動形式に付随するモチーフ的および Galois 表現の文脈における L 関数の明示的 Euler 因子表現を導出すること。
• 非分岐所における zeta 積分の正確な正規化と評価を供給することで、Q 上の自動形式表現の算術を支援すること。
• Gejima による Shintani 関数の一般公式を用いて、先行研究（例：[LZ20a, LZ20b, LZ21]）における正規化因子の拡張および是正を行うこと。

提案手法

• Gejima が得た Shintani 関数の一般公式を用いて、非分岐設定における zeta 積分を計算する。
• Moeglin–Waldspurger の多重度1結果を適用し、三重線形形式の空間が高々1次元であることを保証する。
• Kato–Murase–Sugano の定理を用いて、すべての表現が非分岐であるとき、三重線形形式の空間が1次元であることを確認する。
• zeta 積分の公式に、パラメータ（固有値、中心文字、p-進パラメータ）を明示的に代入し、Euler 因子を抽出する。
• GSp(4)×GL₂ および GSp(4)×GL₂×GL₂ の設定に応じてパラメータを再ラベルし、コhomological およびモチーフ的 L 値と一致させる。
• compact 部分群 $K_{H, riangle}(p)$ の指数と関係付けることにより、先行研究における正規化因子の是正を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心文字が自明である GSp(4)×GL₂×GL₂ の非分岐表現に対する zeta 積分の明示的値は何か？
• RQ2 対角 GL₂×GL₂ 行動の下で、関連する L 関数の Euler 因子は、局所的三重線形形式からどのように導かれるか？
• RQ3 モチーフ的および étale cohomology 構成と整合性を持つために、三重線形形式の正確な正規化は何か？
• RQ4 通常の場合に、p における Frobenius 固有値が zeta 積分出力の付加値とどのように関係するか？
• RQ5 パラメータ（例：α, β, γ, δ）の代入は、GSp(4)×GL₂×GL₂ 設定における中心 L 値をどのように符号化するか？

主な発見

• 非分岐三重 $(\rho_{\text{GSp}} \times \rho_{\text{GL}_2} \times \rho_{\text{GL}_2})$ の zeta 積分は、$p$, $\rho$, 中心文字に関して有理関数として明示的に与えられる6つの Euler 因子の積に評価される。
• GSp(4)×GL₂ 場合、zeta 積分は Euler 因子 $\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)} \prod_{i=1}^6 \left(1 - \frac{\lambda_i}{p^{\text{val}}}\right)$ を与える。ここで $\lambda_i$ は Satake パラメータと中心文字の組み合わせである。
• GSp(4)×GL₂×GL₂ 設定では、zeta 積分が Euler 因子 $\frac{1}{p^5(p+1)(p-1)^2} \prod_{\lambda \in S} \left(1 - \frac{\lambda}{p^{2+q}}\right) \cdot \prod_{\mu \in T} \left(1 - \frac{p^{1+q}}{\mu}\right)$ を生成する。ここで $S$ および $T$ は Satake パラメータの集合である。
• 正規化因子 $\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)}$ は、部分群 $K_{H,\triangle}(p)$ の指数と一貫しており、先行研究における欠落を是正していることが示された。
• 付加値 $\leq 1+q$ を持つ Frobenius 固有値は、ちょうど zeta 積分の分子に現れる三つの項 $\alpha\mathfrak{a}_2, \alpha\mathfrak{b}_2, \beta\mathfrak{a}_2$ に一致する。
• 結果は、$h = \frac{r_1 + r_2 + t_1 + t_2 + 4}{2}$ の場合に中心 L 値 $L(V_{\Pi} \otimes V_{\Sigma_1} \otimes V_{\Sigma_2}, 1+h)$ の計算に応用され、[LZ20b] の定理 8.2.5 と一致する。