[論文レビュー] On special geometry of the moduli space of string vacua with fluxes

Bo-Yu Hou, Sen Hu+1 more|ArXiv.org|Jun 20, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$dd^\mathcal{J}$補題と$d_H$-コホモロジーを活用することで、NSおよびRRフラックスを有するタイプII弦真空のモジュリ空間に特殊幾何を確立する。モジュリ空間は$d_H$-コホモロジー類の部分空間として特定され、平坦なシンプレクティック構造と、修正されたヒチン汎関数をケーラー潜在関数とするケーラー計量が得られ、完全に超対称性を保存するフラックスコンパクト化の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we construct a special geometry over the moduli space of type II string vacua with both NS and RR fluxes turning on. Depending on what fluxes are turning on we divide into three cases of moduli space of generalized structures. They are respectively generalized Calabi-Yau structures, generalized Calabi-Yau metric structures and ${\cal N} =1$ generalized string vacua. It is found that the $d d^{\cal J}$ lemma can be established for all three cases. With the help of the $d d^{\cal J}$ lemma we identify the moduli space locally as a subspace of $d_{H}$ cohomologies. This leads naturally to the special geometry of the moduli space. It has a flat symplectic structure and a K$\ddot{ m a}$hler metric with the Hitchin functional (modified if RR fluxes are included) the K$\ddot{ m a}$hler potential. Our work is based on previous works of Hitchin and recent works of Gra$ ilde{ m n}$a-Louis-Waldram, Goto, Gualtieri, Yi Li and Tomasiello. The special geometry is useful in flux compactifications of type II string theories.

研究の動機と目的

• NSおよびRRフラックスを有するタイプII弦真空のモジュリ空間に特殊幾何を構築すること。
• モジュリ空間を3つの場合に分類すること：一般化されたカラビ-ヤウ構造、一般化されたカラビ-ヤウ計量構造、$\mathcal{N}=1$一般化された弦真空。
• $dd^\mathcal{J}$補題が3つの場合すべてで成り立つことを証明し、これによりモジュリ空間が$d_H$-コホモロジー類と同定可能であることを示すこと。
• 修正されたヒチン汎関数がモジュリ空間上のケーラー計量のケーラー潜在関数として機能することを示すこと。
• 修正されたヒチン汎関数の臨界点が、すべてのフラックスがオンになっている状態での超対称解に一致することを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、$dd^\mathcal{J}$補題を用いて、局所的にモジュリ空間を、$d_H = d + H \wedge$ によってNSフラックスを組み込んだ$d_H$-コホモロジー類の部分空間として同定する。
• RRフラックスを含めるために局所的源を導入し、ヒチン汎関数をこれに応じて修正する。
• ケーラー潜在関数は、修正されたヒチン汎関数の対数として特定され、これは$H(\rho) = \int_M (\sigma(\rho) \wedge J\rho)_{\text{top}} + (\eta \wedge F)_{\text{top}}$ として構成される。
• モジュリ空間上のシンプレクティック構造が平坦であることが示され、これは自然なコホモロジー的構造から自明に生じる。
• 複素構造は、安定スピンオルの上での円積分を生成する関数$\phi(\rho) = \sqrt{-q(\rho)/3}$ に関連するハミルトニアンベクトル場から導出される。
• 第二導関数$D^2\phi$ を用いて、ほぼ複素構造の可積分性が証明され、$D^2\phi(\hat{\rho}_1, \hat{\rho}_2) = \omega(J\hat{\rho}_1, \hat{\rho}_2)$ によって複素構造$J$ が定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NSおよびRRフラックスを有するタイプII弦真空のモジュリ空間に、一貫性を持って特殊幾何を定義する方法は何か？
• RQ2 $dd^\mathcal{J}$補題は、モジュリ空間が$d_H$-コホモロジー類と同定される際に果たす役割は何か？
• RQ3 RRフラックスを含めるにあたり、ヒチン汎関数をどのように修正すれば、ケーラー潜在関数としての役割を保持できるか？
• RQ4 フラックスコンパクト化の下で、自然に生じる幾何的構造（シンプレクティック、複素、ケーラー）は何か？
• RQ5 修正されたヒチン汎関数の臨界点は、すべてのフラックスがオンになっているタイプII弦理論の超対称解と等価か？

主な発見

• $dd^\mathcal{J}$補題は、一般化されたカラビ-ヤウ構造、一般化されたカラビ-ヤウ計量構造、$\mathcal{N}=1$一般化された弦真空の3つの場合すべてで成り立つ。
• モジュリ空間は局所的に$d_H$-コホモロジー類の部分空間として同定され、変形のコホモロジー的記述が可能になる。
• モジュリ空間には、安定スピンオルの空間上の自然なシンプレクティック形式から生じる平坦なシンプレクティック構造が備わっている。
• モジュリ空間上にケーラー計量が構成され、そのケーラー潜在関数は修正されたヒチン汎関数の対数として与えられる。
• 修正されたヒチン汎関数の臨界点は、$d_H\rho = 0$ および $d_H(J\rho) = *F$ を満たし、これらはまさにすべてのフラックスがオンになっているタイプII真空の超対称性方程式に一致する。
• 修正されたヒチン汎関数は$H(\rho) = \int_M (\sigma(\rho) \wedge J\rho)_{\text{top}} + (\eta \wedge F)_{\text{top}}$ で与えられ、ここで$\rho = \rho_0 + d_H\eta$ かつ $d_H\rho_0 = 0$, $d_H(J\rho_0) = 0$ である。