[論文レビュー] On superactivation of one-shot zero-error quantum capacity and the related property of quantum measurements

M. E. Shirokov, Tatiana Shulman|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、4レベルの入力と3レベルの環境を持つ低次元量子チャネル（4×3）を提示し、1回限りのゼロエラー量子容量における対称的スーパーアクティベーションを示す。このチャネル自体は1回限りのゼロエラー量子容量がゼロであるが、そのテンソル積をとることで正の容量が達成され、完全な量子状態伝送が可能になる。この現象は、それぞれが独立に同一の部分空間を持たない2つの量子観測のテンソル積において、同一視不能な部分空間が出現することと関連している。

ABSTRACT

We begin with a detailed description of a low dimensional quantum channel ($d_A=4, d_E=3$) demonstrating the symmetric form of superactivation of one-shot zero-error quantum capacity. This means appearance of a noiseless (perfectly reversible) subchannel in the tensor square of a channel having no noiseless subchannels. Then we describe a quantum channel $Φ$ such that $\,\bar{Q}_0(Φ)=0$ and $\,\bar{Q}_0(Φ\otimesΦ)\geq\log n\,$ for any $\,n\leq+\infty$. We also show that the superactivation of one-shot zero-error quantum capacity of a channel can be reformulated in terms of quantum measurements theory as appearance of an indistinguishable subspace for tensor product of two observables having no indistinguishable subspaces.

研究の動機と目的

• 1回限りのゼロエラー量子容量におけるスーパーアクティベーションの明示的かつ低次元な例を構築し、従来の高次元的で非明示的な構成との間にあるギャップを埋める。
• 単一のチャネルΦがQ̄₀(Φ) = 0 であるがΦ⊗Φの容量が正である対称的スーパーアクティベーションを示し、テンソル積において完全な量子通信を可能にする。
• スーパーアクティベーションを量子測定理論の観点から再定式化し、同一視不能な部分空間を持たない2つの観測のテンソル積が、このような部分空間を生成できることを示す。
• 非可換グラフを用いて、明示的な数値的実装が可能な最小限のクラウス表現を提供する。
• スーパーアクティベーション効果が任意のn、さらには無限次元のチャネルに対してもスケーラブルであり、Q̄₀(Φ⊗Φ) ≥ log n が成り立つことを示す。

提案手法

• 入力次元d_A = 4、環境次元d_E = 3の量子チャネルΦを、Φにノイズレス部分チャネルが存在しないことを保証する非可換グラフを用いて構築する。
• 非可換グラフの正の演算子基底から導かれる修正版クラウス表現を用い、チャネルの明示的数値的構築を可能にする。
• スティンブリンドの定理を適用し、等長作用素Vによるチャネルの表現を行い、部分空間における可逆性を分析する補完的チャネルを導出する。
• スーパーアクティベーション条件を、それぞれが同一視不能な部分空間を持たない2つの量子観測のテンソル積において、同一視不能な部分空間が出現することとして再定式化する。
• 量子測定理論を用い、同一視不能な部分空間を持たない2つの観測のテンソル積が、n次元の連続的家族の同一視不能な部分空間を有することを示す。
• 与えられた非可換グラフを持つチャネルを構築する一般的手法を確立する。そのために、単位演算子に和が一致する正の演算子基底と、有限次元ヒルベルト空間内のユニタリベクトルの集合を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1回限りのゼロエラー量子容量におけるスーパーアクティベーションは、d_A = 4およびd_E = 3の低次元的かつ対称的なチャネルで実証可能か？
• RQ2 1回限りのゼロエラー量子容量がゼロである2つの量子チャネルのテンソル積が、いつでも正の容量を達成するか？
• RQ3 スーパーアクティベーション現象は、特に同一視不能な部分空間の出現を介して、量子測定理論の観点から再定式化可能か？
• RQ4 1回限りのゼロエラー量子容量におけるスーパーアクティベーションを実現するための最小次元は何か？
• RQ5 スーパーアクティベーション効果は、任意のn、さらには無限次元のチャネルに対してもスケーラブルか？

主な発見

• d_A = 4およびd_E = 3の対称的スーパーアクティベーション例を構築し、Q̄₀(Φ) = 0 であるがQ̄₀(Φ⊗Φ) ≥ log 2 > 0 であることを示した。これにより、最小次元において現象が実現されることを確認した。
• チャネルΦは、非可換グラフから導かれる明示的な数値係数を有する最小クラウス表現を持つため、完全な解析的および数値的特徴付けが可能である。
• スーパーアクティベーション効果は測定理論の観点から再定式化された：同一視不能な部分空間を持たない2つの観測のテンソル積が、連続的なn次元の同一視不能な部分空間の族を生成できる。
• 任意のn ∈ ℕまたはn = +∞に対して、Q̄₀(Φ) = 0 であるがQ̄₀(Φ⊗Φ) ≥ log n であるようなチャネルΦが存在することを示した。これにより、効果のスケーラビリティが裏付けられた。
• スーパーアクティベーションが非対称的または高次元的チャネルに限定されるのではなく、対称的かつ低次元的設定でも発生することを確認した。
• 本研究は、スーパーアクティベーションと量子測定におけるエンタングルド同一視不能部分空間の存在との直接的な関連を確立し、量子情報理論における新たな視点を提供した。