[論文レビュー] On supersymmetric solutions in D = 11 supergravity with Ricci-flat internal spaces

В. Д. Иващук|ArXiv.org|Dec 29, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リッチ平坦な内部空間を持つ積多様体上のD=11スーパーグラビティにおける超対称解を分析する一般枠組みを構築する。キリングスピンォ方程式の分解を導入し、$k$個の可換な射影作用素に対して$2^{-k}$-スプリット定理を証明することで、M2およびM5ブレインの分数超対称性の正確な計算が可能になる。主な結果は、保存される超対称性の割合を示す公式 $N = n_0 n_1(c)/32$ であり、これは $mathbb{R}^5 \times \mathbb{R}^2 \times K3$ 上のM2/M5ブレインに対して $N=1/4$ を得る。これは既知の結果と整合的である。

ABSTRACT

An introduction to supersymmetric (SUSY) solutions defined on the product of Ricci-flat spaces in D= 11 supergravity is presented. The paper contains some background information: (i) decomposition relations for SUSY equations and (ii) 2^{-k}-splitting theorem that explains the appearance of N = 2^{-k} fractional supersymmetries. Examples of M2 and M5 branes on the product of two Ricci-flat spaces are considered and formulae for (fractional) numbers of unbroken SUSY are obtained.

研究の動機と目的

• 積多様体に於けるD=11スーパーグラビティの超対称解を分析する体系的な手法の開発。
• 各リッチ平坦因子に関連する成分にキリングスピンォ方程式を分解し、スピン接続および行列値のコベクトル場の解析を可能にする。
• 可換な線形射影作用素 $k$ 個に対して $2^{-k}$-スプリット定理を証明し、分数超対称性の起源を説明する。
• リッチ平坦空間の積上でのM2およびM5ブレイン解における未破れ超対称性の正確な数の計算。
• 明示的な例（平坦空間上でのM2∩M5ブレイン構成）にこの手法を適用し、既知の $N=1/4$ の結果と整合することを示す。

提案手法

• 背景幾何は、各 $M_i$ がリッチ平坦で、全多様体へのその計量の引き戻しを備えた $M = M_0 \times M_1 \times \cdots \times M_n$ 上のブロック対角計量である。
• ワープ因子 $e^{\gamma}$ および $e^{\phi^i}$ を用いて計量を対角化することで $D$-ビンを構成し、ガンマ行列 $\hat{\Gamma}_A$ および $\Gamma_M$ のフレーム分解を導く。
• スピン接続およびキリングスピンォ方程式における行列値コベクトル場は、積構造と引き戻し形式 $\hat{\tau}_i$ を用いて分解される。
• $k$ 個の可換な線形作用素 $\Gamma_{[i]}$ に対して $2^{-k}$-スプリット定理が導出され、それぞれがスピンォ空間の部分空間に射影する。各作用素の固有値は $c_i = \pm 1$ であり、解空間は $2^{-k}$ 次元になる。
• 超対称性条件は、定数スピンォ $\varepsilon_*$ 上での射影条件 $\Gamma_{[i]} \varepsilon_* = c_i \varepsilon_*$ に簡略化され、未破れ超対称性の数は共通固有空間の次元によって決定される。
• 本手法は、2つのリッチ平坦空間上でのM2およびM5ブレインに適用され、4つの平坦空間上でのM2∩M5ブレイン系に対しても適用され、保存超対称性の割合を明示的な式で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空がワープ因子を伴うリッチ平坦多様体の積である場合、D=11スーパーグラビティにおけるキリングスピンォ方程式はどのように分解可能か？
• RQ2 複数のリッチ平坦内部空間を持つ解における分数超対称性の数学的起源は何か？
• RQ3 $2^{-k}$-スプリット定理は、交差ブレイン解における $N = 2^{-k}$ 分数超対称性の出現をどのように説明するか？
• RQ4 リッチ平坦空間の積上でのM2およびM5ブレイン解における未破れ超対称性の正確な公式は何か？
• RQ5 本手法は、$mathbb{R}^5 \times \mathbb{R}^2 \times K3$ 上のM2∩M5ブレイン系に対して既知の $N=1/4$ 結果をどのように再現するか？

主な発見

• 本稿では未破れ超対称性の数を示す一般式 $N = n_0 n_1(c)/32$ を導出する。ここで $n_0$ は $M_0$ 上のキリングスピンォの数であり、$n_1(c)$ は $\hat{\Gamma}_{(1)} \eta_{(1)} = c \eta_{(1)}$ を満たす $M_1$ 上のヘリカルキリングスピンォの数で、$c = \text{sign}(\nu)$ である。
• M2ブレインが $M_0 \times M_1$ 上にある場合、$M_0 = \mathbb{R}^5$ および $M_1 = \mathbb{R}^2 \times K3$ ならば、保存超対称性は $N = 1/4$ である。これは $n_0 = 4$ および $n_1(c) = 2$ であり、$N = 4 \cdot 2 / 32 = 1/4$ を得る。
• M5ブレインが $M_0 \times M_1$ 上にある場合、同じ条件下で公式は $N = 1/4$ を得る。これは既知の結果と整合的である。
• $2^{-k}$-スプリット定理は厳密に証明された：$k$ 個の可換な射影作用素 $\Gamma_{[i]}$ に対して、$\Gamma_{[i]} \varepsilon_* = c_i \varepsilon_*$ の解空間の次元は、元のスピンォ空間次元の $2^{-k}$ 倍である。
• 平坦空間 $\mathbb{R}^5 \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^4 \times \mathbb{R}^1 \times \mathbb{R}^1$ 上のM2∩M5ブレイン構成（$d_0 + d_4 = 4$）では $N = 1/4$ が得られる。これは $k=3$ の $2^{-k}$-スプリット定理により、3つの射影作用素 $\Gamma_{[1]}, \Gamma_{[2]}$ 及びそれらの補完作用素が解空間を $1/8$ 倍に縮小し、$8/32 = 1/4$ を与える。
• 調和関数 $H_i$ が厳密に調和でない場合でも本手法は適用可能であり、方程式の運動に従わない超対称的配置を生成する。これは本枠組みの強靭性を示している。