[論文レビュー] On the broken ray transform

Joonas Ilmavirta|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界の部分集合で反射する場合に一般化されたX線変換である破れた光線変換の単射性を調査する。球体における直接計算、平坦な反射面に対する反射論法、境界のテイラー級数再構成、ペストフエネルギー恒等式の四つの手法を用い、リーマン多様体に凸な障害がある場合を含むさまざまな幾何構造において単射性を確立し、逆問題およびスペクトル幾何学への応用を含めた周期的破れた光線変換への拡張も行う。

ABSTRACT

This PhD thesis studies the broken ray transform, a generalization of the geodesic X-ray transform where geodesics are replaced with broken rays that reflect on a part of the boundary. The fundamental question is whether this transform is injective. We employ four different methods to approach this question, and each of them gives interesting results. Direct calculation can be used in a ball, where the geometry is particularly simple. If the reflecting part of the boundary is (piecewise) flat, a reflection argument can be used to reduce the problem to the usual X-ray transform. In some geometries one can use broken rays near the boundary to determine the values of the unknown function at the reflector, and even construct its Taylor series. One can also use energy estimates -- which in this context are known as Pestov identities -- to show injectivity in the presence of one convex reflecting obstacle. Many of these methods work also on Riemannian manifolds. We also discuss the periodic broken ray transform, where the integrals are taken over periodic broken rays. The broken ray transform and its periodic version have applications in other inverse problems, including Calderón's problem and problems related to spectral geometry. A more detailed abstract can be found in the PDF file. This version only contains the introductory parts of the thesis. The full thesis also contains five articles.

研究の動機と目的

• 破れた光線変換が単射であるかどうか、すなわち関数が反射光線に沿った積分から一意に再構成可能かどうかを特定すること。
• 反射境界による部分的データを伴う状況に、X線トモグラフィー理論を拡張すること。
• 破れた光線変換と他の逆問題（例：カルデロンの問題、境界剛性）との関係を調査すること。
• 周期的破れた光線変換を調査し、スペクトル幾何学におけるその役割を明らかにすること。
• 幾何的に複雑な領域における破れた光線データから関数を再構成する包括的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 球体幾何における直接計算により、球対称性を活用して破れた光線変換の単射性を証明する。
• 反射境界が（部分的に）平坦である場合、破れた光線問題を古典的X線変換に還元するための反射論法の使用。
• 反射面付近での破れた光線を用いた境界再構成により、関数値を特定し、テイラー級数展開を構築する。
• ペストフ恒等式（エネルギー推定）を用いて、リーマン多様体上に単一の凸な反射障害物がある場合の破れた光線変換の単射性を証明する。
• ユークリッド空間を超えたリーマン多様体への手法の一般化により、その適用可能性を示す。
• 閉じた破れた光線軌道に沿った積分をとる周期的破れた光線変換の分析を行い、スペクトル幾何学および逆問題への応用を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反射境界の部分集合を持つ領域において、破れた光線変換は単射であるか？
• RQ2 平坦な反射境界などの幾何的条件下では、破れた光線変換は古典的X線変換に還元可能か？
• RQ3 関数の反射境界上での値は、その破れた光線変換からどの程度再構成可能か？
• RQ4 周期的破れた光線変換は単射性を有するか。そのスペクトル幾何学への影響は何か？
• RQ5 境界剛性やカルデロンの問題などの幾何的逆問題の線形化として、破れた光線変換はどのように生じるか？

主な発見

• 球対称性を活用した直接計算により、単位球体において破れた光線変換が単射であることが示された。
• 反射境界が（部分的に）平坦である場合、破れた光線変換は古典的X線変換に還元され、既知の結果により単射性が保証される。
• 反射面付近では、破れた光線を用いて未知関数のテイラー級数を再構成可能であり、局所的再構成が可能となる。
• ペストフエネルギー恒等式により、リーマン多様体上に単一の凸な反射障害物がある場合、破れた光線変換の単射性が確立された。
• 周期的破れた光線変換は一般には単射ではない。例として、滑らかでcompactly supporedな関数に対して、ユークリッド単位円板上に反例が存在する。
• 破れた光線変換は、反射を伴う境界距離関数の線形化として生じ、リーマン幾何学およびPDEの逆問題と関連づけられる。