[論文レビュー] On the Bruhat-Tits stratification of a quaternionic unitary Shimura variety

Haining Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、分岐していない素数における四元的ユニタリラポポルト＝ジンクス空間の特異ファイバーに対してブルア・ティツ層構造を確立し、その層構造を分解型シンプレクティック群のブルア・ティツビルディングに関連付ける。層は古典的デリーニュ＝ルシュティグ多様体と同定され、その結果を用いて関連するシムーラ多様体の超特異部分集合を明示的に記述する。さらに、群論的および局所モデル技法を用いて、層構造の幾何的実現がなされる。

ABSTRACT

In this note we study the special fiber of the Rapoport-Zink space attached to a quaternionic unitary group. The special fiber is described using the so called Bruhat-Tits stratification and is intimately related to the Bruhat-Tits building of a split symplectic group. As an application we describe the supersingular locus of the related Shimura variety.

研究の動機と目的

• 分岐していない素数における四元的ユニタリラポポルト＝ジンクス空間の特異ファイバーをブルア・ティツ層構造を用いて記述すること。
• 層構造を分解型シンプレクティック群のブルア・ティツビルディングに関連付けること。
• 層構造を用いて、関連するシムーラ多様体の超特異部分集合を明示的に記述すること。
• ブルア・ティツ層構造をアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体と比較し、先行研究と整合性を確認すること。

提案手法

• 論文はラポポルト＝ジンクスの均一化定理を用い、ラポポルト＝ジンクス空間の特異ファイバーを付加構造を持つp-分岐的群のモジュライと関連付ける。
• 関連する等長的空間における格子の相対的位置を分析することにより、ブルア・ティツ層構造を適用し、基本アラコーブおよびビルディングの面を用いる。
• 群 $ J_b $ の作用を用いて層構造を構成し、層はブルア・ティツビルディング内の面の $ J_b $-軌道によってインデックスが付与される。
• 各層は、パラホリック部分群内の二重コセットを用いて定義される古典的デリーニュ＝ルシュティグ多様体 $ X(w_ au) $ と同型である。
• 同じモジュライ問題の異なる群論的実現を結びつけるために、局所設定における同種のトリックを用いる。
• 論文は結果をアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体と比較し、[GH15] および [GHN16] の一般枠組みと、$ GSpin(3,2) $-型の場合に整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四元的ユニタリラポポルト＝ジンクス空間の特異ファイバーのブルア・ティツ層構造は、分解型シンプレクティック群のブルア・ティツビルディングとどのように関係するか？
• RQ2 四元的代数が $ p $ で分岐する場合、関連するシムーラ多様体の超特異部分集合の幾何的構造は何か？
• RQ3 ラポポルト＝ジンクス空間の層はどのように古典的デリーニュ＝ルシュティグ多様体に対応するか？
• RQ4 局所設定における同種のトリックは、層構造の記述をどのように支援するか？
• RQ5 この文脈において、ブルア・ティツ層構造は $ J $-層構造およびアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体とどのように比較できるか？

主な発見

• 四元的ユニタリラポポルト＝ジンクス空間の特異ファイバーは、アフィンディンキン図の頂点集合の $ \tau $-安定な部分集合 $ \tau \neq \tau $ によってインデックスが付与されるブルア・ティツ層構造を有する。
• 層 $ \bigcup_{i \notin J_b \backslash J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \tau}} iX(w_\tau) $ は、条件 $ g^{-1} \tau \tau(g) \notin \breve{I} w_\tau \breve{I} $ を満たす二重コセットによって定義される古典的デリーニュ＝ルシュティグ多様体 $ X(w_\tau) $ と同型である。
• $ \tau = \{1\} $ に対応する層 $ \bigcup_{i \notin J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \tau}} iX(w_\tau) $ は 0 次元であり、超特別点の集合に対応する。
• $ \tau = \{0,2\} $ に対応する層 $ \bigcup_{i \notin J_b \bigcap \breve{K}_{\tilde{\bbS} - \{0,2\}}} iX(w_{\{0,2\}}) $ は、$ \bbF_{p^2} $-点を除いた $ \bbP^1 $ と同型であり、パラモジュラーの場合に対応する。
• ラポポルト＝ジンクス空間のブルア・ティツ層構造は、シムーラ多様体の超特異部分集合の層構造と完全に一致し、各層はブルア・ティツビルディングの面に対応する。
• 結果はアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体の一般理論と整合しており、$ J $-層構造がこの $ GSpin(3,2) $-型の場合にブルア・ティツ層構造と一致することを確認する。