[論文レビュー] On the $C^{1,1}$ regularity of geodesics in the space of Kähler metrics

Jianchun Chu, Valentino Tosatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意のコンpaktoなケーラー多様体上のケーラー計量空間における弱geodesicの$C^{1,1}$正則性を確立し、任意の二つのケーラー汎関数が$C^{1,1}$ geodesicセグメントで接続可能であることを証明する。この結果は、右辺の下界に依存しない非退化複素Monge-Ampère方程式の新しい内部実ヘッセ行列推定式に起因し、弱geodesicを定義する極限における一様な制御を可能にする。

ABSTRACT

We prove that any two Kahler potentials on a compact Kahler manifold can be connected by a geodesic segment of C^{1,1} regularity. This follows from an a priori interior real Hessian bound for solutions of the nondegenerate complex Monge-Ampere equation, which is independent of a positive lower bound for the right hand side.

研究の動機と目的

• 曲率やラインバンドルの仮定なしに、ケーラー計量空間内の弱geodesicが一般に$C^{1,1}$正則性を有するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 右辺関数$F$の正の下界に依存しない、非退化複素Monge-Ampère方程式の解に対する事前内部実ヘッセ行列の境界を確立すること。
• $\varepsilon$-geodesic近似にこの推定式を適用し、極限geodesicの$C^{1,1}$正則性を証明すること。

提案手法

• $(\omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi)^n = e^F \omega^n$の解$\varphi$に対する新しい内部$C^{1,1}$推定式を、$|\partial\varphi|_g^2$を含む巧みな補助関数を用いた最大値原理の議論により導出する。
• $|\partial\varphi|_g^2$を含むテスト関数を構築し、最大値原理を適用して内部点における実ヘッセ行列$\nabla^2\varphi$を制御する。
• 推定式が$\inf_M F$に依存しないという事実を活用し、geodesic理論に現れる同次複素Monge-Ampère方程式への適用を可能にする。
• $\varepsilon$-geodesic近似$\Phi_\varepsilon$にこの推定式を適用する。$\Phi_\varepsilon$は小さな正の右辺を持つ非退化複素Monge-Ampère方程式を満たす。
• $\Phi_\varepsilon$およびその一階微分の$\varepsilon$に依存しない一様な境界を用いて、$\varepsilon$にわたるヘッセ行列推定式の一様性を保証する。
• $\varepsilon \to 0$の極限を取ることで、弱geodesic $\Phi$の実ヘッセ行列が$L^\infty$で有界であることが示され、したがって$C^{1,1}(X \times \Sigma)$に属することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率やラインバンドルの仮定なしに、ケーラー計量空間内の弱geodesicが$C^{1,1}$正則性を有するかどうかを示せるか？
• RQ2 右辺$e^F$がゼロに近づく際、非退化複素Monge-Ampère方程式の解に対する内部$C^{1,1}$推定式が、$\inf_M F$に依存しないまま一様に保たれるか？
• RQ3 $\varepsilon$-geodesic近似$\Phi_\varepsilon$は、$\varepsilon$に依存しない一様ヘッセ行列境界を満たすか？
• RQ4 このような一様ヘッセ行列境界から、極限的議論により弱geodesicの$C^{1,1}$正則性を導けるか？
• RQ5 ヘッセ行列境界の正確な依存関係は、$\|\varphi\|_{C^1}$、$\sup \Delta_g \varphi$、$\sup |\nabla F|_g$などの幾何学的・解析的データにどのように依存するか？

主な発見

• 任意のコンパクトケーラー多様体上の二つのケーラー汎関数を結ぶ弱geodesic $\Phi$ は、$C^{1,1}(X \times \Sigma)$に属する。これは長年の未解決問題を解決する。
• 非退化複素Monge-Ampère方程式$(\omega + \sqrt{-1}\partial\overline{\partial}\varphi)^n = e^F \omega^n$の解に対する内部$C^{1,1}$推定式が、$\inf_M F$に依存しないことが確立され、これが主な新規性である。
• $\varepsilon$-geodesic近似$\Phi_\varepsilon$のヘッセ行列に対する一様境界が、$\varepsilon$に依存しないことが証明され、極限における一様制御を保証する。
• 極限$\varepsilon \to 0$により、実ヘッセ行列が$L^\infty$で有界である弱geodesic $\Phi$ が得られ、$C^{1,1}$正則性が示される。
• 曲率やラインバンドルの仮定の下での先行研究（Błocki や Berman の結果など）を一般化し、簡略化する。
• 本手法はgeodesicの正則性を研究するための新しいツールを提供し、[3] や [28] などの関連研究における結果の簡略化や拡張に利用可能である。