[論文レビュー] On the Complete Evaluation of Jacobi Theta Functions

Nikos Bagis|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モジュラー形式、デデキンドエータ関数、特異モジュラー $k_r$ 間の代数的関係を用いて、特異モジュラーにおけるヤコビシータ関数の評価の包括的フレームワークを提示する。$q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ におけるシータ関数の値が $r$ が有理数のとき代数的数であると仮説を立て、補間とモジュラー恒等式を用いて明示的な評価式を導出し、Mathematica の RootApproximant ルーチンを用いて数値的に検証する。

ABSTRACT

Using numerical, theoretical and general methods, we construct evaluation formulas for the Jacobi $θ$ functions. Some of our results are conjectures, but are verified numerically.

研究の動機と目的

• ヤコビシータ関数を特異モジュラーにおいて評価する一般的手法を開発すること。
• 有理数 $r$ に対して $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ におけるシータ関数の値が代数的数であると仮説を立てること。
• $\theta_4(a,b;q)$ や関連するシータ関数の明示的評価式を、デデキンドエータ関数と特異モジュラーを用いて導出すること。
• 補間と記号的根の特定に基づく計算アルゴリズムを確立し、シータ関数の値の最小多項式を同定すること。
• 特定のシータ関数が合同部分群 $\Gamma(2p)$ に対して重み $1/2$ のモジュラー形式として変換することを示すこと。

提案手法

• 恒等式 $A(a,p;q) = q^{p/12 - a/2 + a^2/(2p)} \eta(q^p)^{-1} \theta_4(p/2, p/2 - a; q)$ を用いて、シータ関数とデデキンドエータ関数を関連付ける。
• $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ に対して変換 $\eta(q) = 2^{1/3}\pi^{-1/2}q^{-1/24}k_r^{1/12}k_r^{*1/3}K(k_r)^{1/2}$ を適用し、$\eta(q)$ を $k_r$ で表す。
• Mathematica の RootApproximant を用いた数値補間により、$A(a,p;q)$ と $k_r$ 間の最小多項式を同定する。
• $A(a,p;q) = Q_{\{a,p\}}(k_r)$ と仮定し、$Q$ を代数的関数とすることで評価式を導出し、この仮説を数値的に検証する。
• シータ関数の $\Gamma(2p)$ におけるモジュラー変換性を用いて、特定のシータ級数のモジュラー性を証明する。
• クラインの $J_0$-不変量およびその逆を用いて、シータ関数のべきをモジュラー不変量の代数的関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数 $a,b$ を持つヤコビシータ関数 $\theta_4(a,b;q)$ は、有理数 $r$ に対して $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ で閉形式で評価可能か？
• RQ2 $q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ かつ $r \in \mathbb{Q}^+$ のとき、$A(a,p;q) = q^{p/12 - a/2 + a^2/(2p)} \eta(q^p)^{-1} \theta_4(p/2, p/2 - a; q)$ の値は代数的数か？
• RQ3 $A(a,p;q)$ が特異モジュラー $k_r$ の関数として満たす最小多項式は何か？
• RQ4 有理数の二次指数をもつシータ関数から、重み $1/2$ のモジュラー形式をどのように構成できるか？
• RQ5 $A(1,4;q)$ の $n$ 番目のモジュラー方程式は、逆特異モジュラー関数を用いて明示的に計算可能か？

主な発見

• $a=1$, $p=4$ のとき、恒等式 $A(1,4;q)^{24} = \frac{16(1 - k_r^2)^2}{k_r^2}$ が成り立ち、$A(1,4;q) = \sqrt[12]{\frac{4(1 - k_r^2)}{k_r}}$ が得られる。
• 定理1では、$q = e^{-\pi\sqrt{r}}$ に対して $\theta_4(2,1;q) = q^{1/24}\eta(q^4)\sqrt[12]{\frac{4(1 - k_r^2)}{k_r}}$ が成り立つ。
• $a=1/2$, $p=2$ のとき、$A(1/2,2;q) = \sqrt[24]{\frac{4(1 - k_r)^4}{k_r(1 + k_r)^2}}$ であり、前例の $q^{1/2}$ シフト版と一致する。
• 定理2では、$\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{2n^2 + 3n/2}$ が $q^{-11/96}\eta(q^4)\sqrt[48]{\frac{4(1-k_r)^4(2+k_r-2\sqrt{1+k_r})^{12}}{k_r^{13}(1+k_r)^2}}$ として閉形式で与えられる。
• 5つの評価の表が提示され、それぞれが $A(a,p;q)$ と $k_r$ 間の最小多項式を通じてシータ関数とモジュラー関数を結びつける。
• 定理41は、$\theta(a,p;z)$ が $\Gamma(2p)$ において重み $1/2$ のモジュラー形式であり、24乗根の単位根を乗数とする標準的なモジュラー変換を満たすことを確認する。