[論文レビュー] On the determinant of the distance matrix of a bicyclic graph

Shi-Cai Gong, Ju‐Li Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2013

Graph theory and applications参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2つの非連結なサイクルが道で接続された二巡回グラフの距離行列の閉形式の公式を導出している。これは、木や単巡回グラフに対する既知の結果を一般化するものである。行列式はサイクル長 $ p $ および $ q $、道の長さ $ k $、および付随する木の数 $ n $ に依存し、$ p $ もしくは $ q $ が偶数であれば行列式は0となり、それ以外の場合は $ \left[\frac{(pq-1)(p+q)}{4} + \frac{n}{2}pq\right](-2)^n $ で与えられる。

ABSTRACT

Two cycles are referred as disjoint if they have no common edges. In this paper, we will investigate the determinant of the distance matrix of a graph, giving a formula for the determinant of the distance matrix of a bicyclic graph whose two cycles are disjoint, which extends the formula for the determinant of the distance matrix of a tree, as well as that of a unicyclic graph.

研究の動機と目的

• 木および単巡回グラフの距離行列の既知の行列式公式を、2つの非連結なサイクルをもつ二巡回グラフへと拡張すること。
• 2つの辺に分けられないサイクルをもつ二巡回グラフの距離行列の行列式の一般式を確立すること。
• このようなグラフにおける付随する木の構造が行列式に与える影響を調査すること。
• 行列式が付随する木の内部構造に依存せず、核心となる二巡回構造にのみ依存することを証明すること。

提案手法

• 2つの非連結なサイクル $ C_p $ および $ C_q $ が長さ $ k-1 $ の道で接続された $\infty(p,k,q)$ グラフを定義する。$ k=1 $ の場合は頂点の同一化を意味する。
• 道の構造から導かれる $ C_k $, $ C_h $ およびベクトル $ F_k $, $ F_h $ を用いて、核心部分 $\infty(p,k,q)$ グラフの距離行列をブロック行列としてモデル化する。
• 行列式の計算を簡略化するために、行列の分解およびブロック行列式の恒等式を用いる。
• 補題2.1を適用して $ \det(C_k) $ および $ F_k C_k^{-1} F_k^T $ を計算し、サイクル長に依存する閉形式の表現を得る。
• 補題2.2を用いて、一般の $ n $ に対する行列式展開で生じる漸化式を解く。
• ブロック行列変換および行列式恒等式を用いて、核心部分の行列式と $ n $ 個の付随する木からの寄与を組み合わせることで、最終的な行列式公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの非連結なサイクルをもつ二巡回グラフの距離行列の行列式は、サイクル長および接続する道の長さにどのように依存するか？
• RQ2 2つの非連結なサイクルをもつ二巡回グラフの距離行列の行列式は、木および単巡回グラフに対する既知の公式を一般化した閉形式で表現可能か？
• RQ3 付随する木の構造は、そのような二巡回グラフの距離行列の行列式に影響を与えるか？
• RQ4 このような二巡回グラフの距離行列の行列式が0となる条件は何か？
• RQ5 行列式と付随する木の数 $ n $ の間の正確な代数的関係は何か？

主な発見

• 2つの非連結なサイクルをもつ二巡回グラフの距離行列の行列式は、$ p $ もしくは $ q $ が偶数であれば0である。
• 両方の $ p $ および $ q $ が奇数の場合、行列式は $ \left[\frac{(pq-1)(p+q)}{4} + \frac{n}{2}pq\right](-2)^n $ で与えられ、ここで $ n $ は付随する木の頂点数を表す。
• 行列式は付随する木の内部構造に依存せず、その頂点数 $ n $ のみに依存する。
• 古典的なグラハムとポラックの結果（木の場合）を一般化しており、$ p=q=1 $ の場合に $ (-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2} $ を特別な場合として回復する。
• 1つのサイクルを単一頂点（1サイクル）として扱うことで、単巡回グラフに対する既知の結果も回復し、先行研究と整合性があることが示された。
• 導出結果により、行列式がサイクル長 $ p $, $ q $ および付随する頂点数 $ n $ のみに依存し、木の具体的なトポロジーには依存しないことが確認された。