[論文レビュー] On the dynamic representation of some time-inconsistent risk measures in a Brownian filtration

Julio Backhoff‐Veraguas, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動フィルトレーションにおけるPDE技法を用いて、時間に一貫性のないリスク尺度—特に最適化された確実性等価（OCE）尺度—の動的表現を確立する。状態空間を拡張し、確率的制御と粘性解を適用することで、動的プログラミング原理と非線形PDE（HJB型）を導出し、時間の一貫性を欠く場合でもOCEリスク尺度の動的計算を可能にする。これは、条件付きバリューアットリスクや単調な平均・分散リスクのケースを含む。

ABSTRACT

It is well-known from the work of Kupper and Schachermayer that most law-invariant risk measures do not admit a time-consistent representation. In this work we show that in a Brownian filtration the "Optimized Certainty Equivalent" risk measures of Ben-Tal and Teboulle can be computed through PDE techniques, i.e. dynamically. This can be seen as a substitute of sorts whenever they lack time consistency, and covers the cases of conditional value-at-risk and monotone mean-variance. Our method consists of focusing on the convex dual representation, which suggests extending the state space. With this we can obtain a dynamic programming principle and use stochastic control techniques, along with the theory of viscosity solutions, which we must adapt to cover the present singular situation.

研究の動機と目的

• 条件付きバリューアットリスクや単調な平均・分散といった広く用いられるリスク尺度における時間的一貫性の欠如に対処すること。
• ブラウン運動フィルトレーションにおけるPDE技法を用いて、時間に一貫性のないリスク尺度の動的表現を構築すること。
• OCEリスク尺度の動的プログラミング原理を回復するために、状態空間を拡張すること。
• 非有界な確率的制御問題に生じる特異なハミルトニアンを取り扱うために、粘性解理論を適応すること。
• 時間的一貫性を代替するため、時間的一致性を欠くリスク尺度を動的に計算可能にする手法を提供すること。

提案手法

• 動的プログラミングのための拡張状態空間を提示するために、OCEリスク尺度の凸双対表現に注目する。
• 拡張状態空間における動的プログラミング原理を導出し、リスク尺度の動的モデル化を可能にする。
• 確率的制御技法を用い、非有界制御問題における特異なハミルトニアンを取り扱うために粘性解理論を適応する。
• 動的プログラミング原理を介して、動的リスク尺度と非線形PDE（HJB方程式）との関係を確立する。
• 伊藤の公式とマルティングール表現を用いて、制御過程βを価値関数の勾配の比として明示的に構成する。
• 滑らかで有界な過程への還元を可能にするために、滑らか化と近似の議論を用い、厳密なPDE解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に一貫性のないリスク尺度、例えば条件付きバリューアットリスクや単調な平均・分散リスクは、ブラウン運動フィルトレーションにおいて動的に表現可能か？
• RQ2 時間的一致性を欠くOCEリスク尺度に対しても、動的プログラミング原理を導出することは可能か？
• RQ3 非有界な確率的制御問題に生じる特異なハミルトニアンを取り扱うために、粘性解技法を適応することは可能か？
• RQ4 法不変で時間に一貫性のないリスク尺度のための動的表現を回復するために、状態空間をどのように拡張すればよいか？
• RQ5 提案手法は、OCEフレームワーク外のクラスに属する、効用に基づく期待ショートフォールにどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 時間的一致性が成立しない場合でも、ブラウン運動フィルトレーションにおける非線形PDE（HJB方程式）を用いてOCEリスク尺度の動的表現が確立された。
• 拡張状態空間における動的プログラミング原理が導出され、条件付きバリューアットリスクや単調な平均・分散リスクなどのリスク尺度の動的計算が可能になった。
• 非有界な確率的制御問題に由来する特異なハミルトニアンを取り扱うために、粘性解技法が効果的に適応された。
• 制御過程βは、価値関数の勾配をその関数自体で割った比として明示的に構成され、近似により有界性が保証された。
• パワータイプのペナルティ関数を有するOCEリスク尺度、特にRényi発散に基づく尺度を含む、金融・規制分野で用いられる主要なリスク尺度に適用可能である。
• 効用に基づく期待ショートフォールには、この手法は完全には拡張されないため、OCEクラスを超えた一般化への限界が示された。