[論文レビュー] On the long time behaviour of the Conical Kähler- Ricci flows

Xiuxiong Chen, Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、滑らかな除集合と円錐特異点をもつケーラー多様体上における円錐ケーラー・リッチ流れの長時間存在および指数的収束を確立する。重み付き Hölder 空間における鋭い推定と、円錐特異点をもつケーラー・リッチ平坦計量に関するリウヴィル型定理を用いて、ねじれ第一チャーン類が非正であるとき、流れが指数的に速く円錐特異点をもつケーラー・アインシュタイン計量に収束することを証明する。

ABSTRACT

We prove that the conical Kähler-Ricci flows introduced in \cite{CYW} exist for all time $t\in [0,+\infty)$. These immortal flows possess maximal regularity in the conical category. As an application, we show if the twisted first Chern class $C_{1,β}$ is negative or zero, the corresponding conical Kähler-Ricci flows converge to Kähler-Einstein metrics with conical singularities exponentially fast. To establish these results, one of our key steps is to prove a Liouville type theorem for Kähler-Ricci flat metrics (which are defined over $\mathbb{C}^{n}$) with conical singularities.

研究の動機と目的

• 滑らかな除集合と円錐角 β ∈ (0,1) をもつケーラー多様体上における円錐ケーラー・リッチ流れの長時間存在を確立すること。
• ねじれ第一チャーン類 C₁,β が非正であるとき、流れが指数的に速く円錐特異点をもつ円錐ケーラー・アインシュタイン計量に収束することを証明すること。
• 円錐流れにおける最大正則性理論を構築し、鋭い C²,α,β 推定と円錐的カテゴリーにおけるブートストラップ技法を証明すること。
• ℂⁿ 上の円錐特異点をもつケーラー・リッチ平坦計量に関するリウヴィル型定理を確立すること。これは収束証明の中心的役割を果たす。
• 特異点に起因する課題を克服しながら、滑らかなケーラー・リッチ流れの結果を円錐設定に拡張すること。

提案手法

• 円錐ケーラー・リッチ流れを、円錐特異点をもつスカラー放物型 Monge-Ampère 方程式に還元する。
• 潜在関数とその時間微分を制御するため、重み付き C⁰-推定と C¹,¹-推定を適用する。
• 上調和関数 log u̅ におけるモーザー反復法を用いて、第二階微分の Hölder 推定を証明する。
• ユークリッド座標における W¹,²-型推定を用いて逆 Hölder 不等式を確立し、円錐計量をモデル計量に変換する。
• ジョン＝ニレングラの不等式を用いて log u̅ の振動を制御し、一様な下界を導出する。
• ℂⁿ 上の円錐特異点をもつケーラー・リッチ平坦計量に関するリウヴィル型定理を用いて、非自明な有界な上調和関数が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期計量が (α, β)-円錐ケーラー計量であるとき、円錐ケーラー・リッチ流れはすべての時間 t ∈ [0, ∞) に対して存在するか？
• RQ2 円錐ケーラー・リッチ流れが円錐ケーラー・アインシュタイン計量に収束する条件は何か？収束速度は？
• RQ3 ℂⁿ 上の円錐特異点をもつケーラー・リッチ平坦計量に対して、リウヴィル型定理を確立できるか？
• RQ4 流れの正則性は時間経過とともにどのように向上するか？円錐設定における到達可能な最大正則性クラスは何か？
• RQ5 滑らかなケーラー・リッチ流れの結果が、収束性およびエネルギーの単調性に関して、どの程度円錐ケースに拡張可能か？

主な発見

• 初期計量が α′ ∈ (0, min{1/β − 1, 1}) である (α′, β)-円錐ケーラー計量であるとき、円錐ケーラー・リッチ流れはすべての時間 t ∈ [0, ∞) に対して存在する。
• 任意の t > 0 に対して、進化する計量 g(t) は任意の α < min{1/β − 1, 1} に対して (α, β)-円錐ケーラー計量である。これは最大正則性を確立する。
• 任意のコンパクト時間区間 [0, N] に対して、流れは C^{α, α/2, β}-族の円錐計量である。これは空間的および時間的 Hölder 正則性を確認する。
• C₁,β < 0 または C₁,β = 0 のとき、流れは C^{α,β}_{1,1} 位相において指数的に速く円錐ケーラー・アインシュタイン計量に収束する。
• 指数的収束は、Li-Yau のハーナック推定が円錐設定で成立しないことから、K-エネルギーの単調性によって確立される。
• C₁(X) − ∑(1−βᵢ)C₁(Dᵢ) = 0 をみたす log Calabi-Yau 組み合わせ (X, ∑(1−βᵢ)Dᵢ) に対して、円錐ケーラー・アインシュタイン計量の存在が、結果として示される。