[論文レビュー] On the extension complexity of combinatorial polytopes

David Avis, Hans Raj Tiwary|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、NP完全問題（例：部分和問題、3次元マッチング、安定集合問題）に関連する組合せ的ポリトープの指数的拡張複雑度を、NP完全性還元を下界に変換するためのリフトに基づく技法を導入することで確立する。任意の $K_n$ マイナーを含むグラフのカットポリトープの拡張複雑度は少なくとも $2^{\Omega(n)}$ であり、$K_6$ マイナーを含まないグラフ（例：3次元平面的グラフのサスペンション）ですら、超多項式の拡張複雑度を示すことが示され、$K_5$ マイナーを含まないグラフが多項式サイズの拡張を許容するのと対照的である。

ABSTRACT

In this paper we extend recent results of Fiorini et al. on the extension complexity of the cut polytope and related polyhedra. We first describe a lifting argument to show exponential extension complexity for a number of NP-complete problems including subset-sum and three dimensional matching. We then obtain a relationship between the extension complexity of the cut polytope of a graph and that of its graph minors. Using this we are able to show exponential extension complexity for the cut polytope of a large number of graphs, including those used in quantum information and suspensions of cubic planar graphs.

研究の動機と目的

• Fiorini らの拡張複雑度に関する結果を、NP完全問題に関連するより広範な組合せ的ポリトープのクラスへと拡張すること。
• NP完全性還元を拡張複雑度の下界に変換する一般的手法を構築すること。
• 特に、グラフマイナーを用いてカットポリトープの拡張複雑度を特徴づけ、多項式から指数的へと複雑度が変化する鋭い閾値を特定すること。
• $K_5$ マイナーを含まない（多項式拡張を許容する）グラフであっても、$K_6$ マイナーを含む場合には超多項式の拡張複雑度を示す可能性があることを示すこと。
• グラフマイナーがカットポリトープの拡張形式の複雑度を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• 既知の難問ポリトープ（例：$\mathrm{CUT}^\square(K_n)$）の拡張複雑度に関する下界を、NP完全問題から導かれる他のポリトープへとリフトすることで伝播させる。
• 単調性の性質を確立する：$H$ が $G$ のマイナーであるならば、$\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(G)) \geq \mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(H))$ が成り立ち、下界の伝播を可能にする。
• サスペンション構成を用いて、安定集合ポリトープ $\mathrm{STAB}(G)$ を $G'$（$G$ のサスペンション）の $\mathrm{CUT}^\square(G')$ の面に関連づけ、拡張複雑度の下界を引き継ぐ。
• 面射影技術を用いて、$\mathrm{STAB}(G)$ が $\mathrm{CUT}^\square(G')$ の面の射影であることを示し、安定集合ポリトープとカットポリトープを結びつける。
• $x_{0i} + x_{0j} - x_{ij} \geq 0$ などの有効不等式を用いて、$\mathrm{CUT}^\square(G')$ の面を定義し、$G$ の安定集合を符号化する。この際、面構造を保持する。
• Fiorini らの既知の境界、特に $\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(K_n)) \geq 2^{\Omega(n)}$ を用いて、関連ポリトープの指数的下界を確立する理論的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NP完全性還元を、組合せ的ポリトープの拡張複雑度の下界に体系的に変換できるか？
• RQ2 グラフマイナーは、カットポリトープの拡張複雑度を決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ3 $K_5$-マイナーを含まないグラフが多項式拡張を許容するのに対し、$K_6$-マイナーを含まないグラフのカットポリトープが超多項式の拡張複雑度を示すことは可能か？
• RQ4 3次元平面的グラフの安定集合ポリトープは超多項式の拡張複雑度を示す可能性があるか？
• RQ5 カットポリトープにおいて指数的拡張複雑度を維持する最小のグラフ構造は何か？

主な発見

• 任意の $K_n$ マイナーを含むグラフ $G$ に対して、カットポリトープ $\mathrm{CUT}^\square(G)$ の拡張複雑度は少なくとも $2^{\Omega(n)}$ である。
• 完全3部グラフ $K_{1,n,n}$ のカットポリトープの拡張複雑度は少なくとも $2^{\Omega(n)}$ であり、ベル不等式ポリトープの指数的複雑度を確認する。
• $n \geq 2$ に対して、常に $K_6$-マイナーを含まないグラフ $G$（具体的には平面的グラフのサスペンション）が存在し、$\mathrm{xc}(\mathrm{CUT}^\square(G)) \geq 2^{\Omega(n^{1/4})}$ が成り立つ。これは、$K_5$-マイナーを含まないグラフを超える超多項式の複雑度を示す。
• 3次元平面的グラフの安定集合ポリトープは超多項式の拡張複雑度を示し、Fiorini らの以前の結果を改善する。
• 平面的グラフ $G$ のサスペンション $G'$ のカットポリトープは、安定集合ポリトープ $\mathrm{STAB}(G)$ に射影可能であり、拡張複雑度の下界を引き継ぐことができる。
• 明確な対比が存在する：$K_5$-マイナーを含まないグラフは $O(n^3)$ の拡張複雑度を示すが、$K_6$-マイナーを含まないグラフは超多項式の拡張複雑度を示す可能性があり、$K_6$ が閾値として機能することが示唆される。