[論文レビュー] On the infinity of infinities of orders of the infinitely large and infinitely small

Leonhard Euler, Jordan Bell|ArXiv.org|May 14, 2009

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics被引用数 20

ひとこと要約

オイラーは、無限大や無限小の順序が無限に存在することを調査し、いかに離れていても、任意の二つの無限大または無限小の量の間に、無限に多くの中間の順序が存在することを示している。幾何級数と高次の超越関数――特に対数関数と指数関数――を用いて、いかなる有限の階層よりも上に、新たな、明確に区別できる無限大や無限小の順序が生じることを示し、無限大のスケールが無限にあり、かつ複雑さにおいても上限がないことを証明している。

ABSTRACT

Translation (by J.B.) from the original Latin of Euler's "De infinities infinitis gradibus tam infinite magnorum quam infinite parvorum" (1780). E507 in the Eneström index. Euler discusses orders of infinity in this paper. In other words this paper is about how different functions approach infinity or 0 at different rates. I was not certain about what Euler means by "infinities infiniti". Probably he means that $x,x^2,x^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, and $\log x,(\log x)^2, (\log x)^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, so the combinations of them are an infinity of infinities of orders of infinity. In fact Euler mentions other orders of infinity in this paper. It would be worthwhile to study this paper more to figure out exactly what Euler means here. Another translation of the title is "On the infinitely infinite orders of the infinitely large and infinitely small". Here's another place Euler uses the phrase "infinities infiniti". The phrase "infinities infiniti" from the title is used by Euler also in section 21 of E302, "De motu vibratio tympanorum". Truesdell translates this phrase on p. 333 of "The rational mechanics of flexible or elastic bodies" as "infinity of infinities". I'd like to thank Martin Mattmueller for clearing up some questions.

研究の動機と目的

• 無限大という概念が単一の実体ではなく、無限に異なる大きさの順序を含むことの確立。
• 任意の二つの無限大または無限小の量の間、たとえ幾何級数に従っていようとも、無限に多くの中間の順序が存在することの証明。
• 高次の解析――特に対数関数と指数関数――が、多項式的または累乗に基づく階層では捉えきれない、新たな無限大や無限小の順序を生み出すことの示唆。
• 無限小や無限大の文脈において、超越関数を含む積分の漸近的挙動を厳密に分析すること。
• 微積分や解析の文脈において、無限大の順序の無限性と非有界性に関する、従来の数学における概念的ギャップを解消すること。

提案手法

• 無限大の量 $x$ を用いた形 $1, x, x^2, x^3, \ldots$ の幾何級数を用い、各項が直前の項よりも無限に大きく、次の項よりも無限に小さいことを示す。
• 再帰的置換を適用する：$x = y^{1000}$ ならば、$y = \sqrt[1000]{x}$ も依然として無限大であり、$1$ と $y^{1000} = x$ の間に再び 1000 個の中間の順序が得られ、これにより新たな階層が構築可能である。
• 対数関数と指数関数を新たな順序の源として導入する：無限大の $x$ に対して $\log x$ は無限大であるが、いかに大きな $n$ であっても $x^{1/n}$ よりも無限に小さい。
• 無限小の $x$ に対して $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$ の形の積分を分析し、$\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$ のような閉形式の結果が得られることを示し、これが新たな無限小の順序を表していることを示す。
• 対数微分を用いて $\log(1/x)$ や $e^{\alpha/x^\beta}$ を含む関数の微分形式を導出し、そうでない初等関数でない表現の積分を可能にする。
• 高次の項 $x^m \log^n x / e^{\alpha/x^\beta}$ を導入しても、積分が $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{v}$ の形に依然として表現可能であることを示し、新たな順序を扱う一貫した枠組みが存在することを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 と無限大の量 $x$ の間に、無限に多くの異なる無限大の順序が存在しうるか？
• RQ2 対数関数や指数関数は、標準的な累乗に基づく階層では表現できない、新たな無限大や無限小の順序を生成するのか？
• RQ3 超越関数 $e^{\alpha/x^\beta}$ を含む積分が、多項式的または有理数的形よりも新たな明確に区別できる無限小の順序を生み出すことができるか？
• RQ4 各順序が直前のものより無限に小さく、次のものより無限に大きいような無限小の順序の階層を構築することは可能か？
• RQ5 曲線 $y = x^n e^{-\alpha/x^\beta}$ で定義される面積について、新たな無限小の順序を明らかにする解析的表現が存在するか？

主な発見

• 無限大の量 $x$ を用いた幾何級数 $1, x, x^2, \ldots$ の任意の二項の間に、指数の差が 1000 であっても、無限に多くの中間の無限大の順序が存在する。
• $x = y^{1000}$ ならば $y = \sqrt[1000]{x}$ も依然として無限大であり、$1$ と $x$ の間に再び 1000 個の中間順序が得られ、このプロセスは無限に繰り返せる。
• 任意の無限大の $x$ に対して $\log x$ は無限大であるが、いかに大きな有限の $n$ であっても $x^{1/n}$ よりも無限に小さい。これは、対数的増加が明確に区別される、より低い順序の無限大を定義することを証明する。
• 無限小の $x$ に対して $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx = \frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$ が成り立つ。これは、このような表現が新たな明確に区別できる無限小の順序を定義していることを示している。
• $y = \frac{a x^n}{e^{\alpha/x^\beta}}$ のとき、曲線の下側の面積は $\int y dx = \frac{1}{\alpha\beta} x^{\beta+1} y$ と閉形式で表され、新たなクラスの無限小量が存在することを明らかにする。
• 対数項 $\log(1/x)$ を含んでも、積分 $\int \frac{x^k u^m}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$ は依然として $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{e^{\alpha/x^\beta}}$ の形に表現可能であり、一貫した非有界な無限小の順序階層が存在することを確認する。