[論文レビュー] On the moduli of Kahler-Einstein Fano manifolds

Yuji Odaka|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 50被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、Kähler-Einstein Fano多様体が有限自己同型群を持つ場合、K-安定性とKähler-Einstein計量の存在の間の同値性を用いて、そのモジュライ代数的空間がハウスドルフ的であり、複素 orbifold であることを確立する。さらに、このような多様体のGromov-Hausdorff極限が、特異Kähler-Einstein計量をもつQ-Fano多様体であることを示し、代数幾何と微分幾何を用いて自然なコンパクト化を構成する。

ABSTRACT

We prove that Kahler-Einstein Fano manifolds with finite automorphism groups form Hausdorff moduli algebraic space with only quotient singularities. We also discuss the limits as Q-Fano varieties which should be put on the boundary of its canonical compactification.

研究の動機と目的

• 微分幾何的および代数幾何的技法を用いて、Kähler-Einstein Fano多様体の自然なモジュライ空間を構成すること。
• Gromov-Hausdorff極限がQ-Fano多様体であり、特異Kähler-Einstein計量をもつことの代数的性質を確立すること。
• 自己同型群が有限であるとき、平坦族内のKE Fano多様体の集合がZariski開集合をなすことの証明。
• CM次数の最小化が安定極限を特徴づけることにより、K-モジュライ予想に裏付けを提供すること。
• Fano設定において、微分幾何（Kähler-Einstein計量）と代数幾何（K-安定性、モジュライ空間）を統合すること。

提案手法

• Mabuchi、Berman、CDS、Tianによって確立された、Fano多様体上のK-安定性とKähler-Einstein計量の存在の間の同値性を活用する。
• 十分に可除な $m$ の指数をもつ非常に豊富な極性によるテスト配置を用いて、$K_m$-安定性を定義し、十分大きな $m$ に対してK-安定性を特徴づける。
• CM（Chen-Donaldson-Mabuchi）ラインバンドル次数を用いて、家族とその吹き上げを比較し、不一致を不一致理論を用いて推定する。
• 特異点の解消を吹き上げを用いて実行し、異なる家族のCM次数を比較し、変形のもとで最小性を示す。
• 複素構造の連続性を強化したGromov-Hausdorff収束を用いて、KE Fano族の極限を定義する。
• 最小モデルプログラムやKähler-Ricciフローと類似性を用いて、安定極限の予想的特徴づけを支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限自己同型群をもつKähler-Einstein Fano多様体のモジュライ空間は、商特異点をもつハウスドルフ的代数的空間として構成可能か？
• RQ2 KE Fano多様体の列のGromov-Hausdorff極限の代数的性質は何か？
• RQ3 自己同型群が有限であるとき、平坦族内のKE Fano多様体の集合はZariski開集合か？
• RQ4 CM次数の最小化原理がモジュライ空間の自然なコンパクト化を特徴づけられるか？
• RQ5 他の極性付き多様体、例えばCalabi-Yauや一般型多様体に対し、有理写像の解消によるCM次数比較はどの程度一般化可能か？

主な発見

• 有限自己同型群をもつKähler-Einstein Fano多様体は、ハウスドルフ的モジュライ代数的空間をなし、それは複素 orbifold である。
• KE Fano多様体の列のGromov-Hausdorff極限は、特異Kähler-Einstein計量をもつQ-Fano多様体である。
• 平坦な射影族 $\pi: \mathcal{X} \to S$ において、自己同型群が有限であるとき、KE Fano多様体の集合は $S$ においてZariski開集合をなす。
• Q-Fano多様体の族のCM次数は、その族がK-多安定であるときかつそのときに限り最小化され、これは自然なコンパクト化を支持する。
• 有理写像の解消によるCM次数比較により、任意の他の穴あき族の完成はより高い次数を持つことが示され、極限の一意性が示される。
• 結果はCalabi-Yauや一般型多様体へ一般化され、CM次数の最小化が同様に自然モデルを特徴づけることが示され、WangとXuの先行研究が拡張される。