[論文レビュー] On the Newton stratification in the good reduction of Shimura varieties

Paul Hamacher|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$p$ におけるハイパースペシャルレベル構造をもつホッジ型のシムーラ多様体に対して、マントヴァンのほぼ積構造およびカライアーニ＝ショルツェの無限レベル積構造を一般化し、ニュートン層のパーフェクションが、中央葉とラポポルト＝ジンクス空間の積に、プロ・エタール局所的に同型であることを証明する。主な結果として、無限レベルのイグザ多様体と無限レベルのラポポルト＝ジンクス空間の間の同型が確立され、その結果、パーフェクトイドレベルにおけるシムーラ多様体の一般層に積構造が得られる。

ABSTRACT

I construct a generalisation of Mantovan's almost product structure to Shimura varieties of Hodge type with hyperspecial level structure at $p$ and deduce that the perfection of the Newton strata are pro-étale locally isomorphic to the perfection of the product of a central leaf and a Rapoport-Zink space. The almost product formula can be extended to obtain an analogue of Caraiani's and Scholze's generalisation of the almost product structure for Shimura varieties of Hodge type.

研究の動機と目的

• $p$ におけるハイパースペシャルレベル構造をもつホッジ型シムーラ多様体に対して、マントヴァンのほぼ積構造を拡張すること。
• カライアーニとショルツェの無限レベル積構造をホッジ型設定に一般化すること。
• ニュートン層のパーフェクションと中央葉およびラポポルト＝ジンクス空間の積との間のプロ・エタール局所同型を確立すること。
• 無限レベルのイグザ多様体と無限レベルのラポポルト＝ジンクス空間および中央葉の積の間の形式的スキームとしてのグローバル同型を構成すること。
• アディック一般層の構成およびパーフェクトイド幾何学を用いて、一般層における積構造を導出すること。

提案手法

• 中央葉 $C$ 上の、互いに適合する有限対応からなるイグザ多様体の塔 $\mathscr{J}_m^{(p^{-N})}$ を構成する。
• イグザ多様体のパーフェクション $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ と無限レベルのラポポルト＝ジンクス空間 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$ を用いて、ニュートン層のパーフェクション $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$ への対応を定義する。
• 準同型 $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ が、クリスタル的タートensorを持つバーラッシ・トゥーレ群の自己準同型的自己準同型の群による torsor であることを示す。
• 準同型 $r_\infty^{(p^{-\infty})}$ が、同一のバーラッシ・トゥーレ群の自己同型群による torsor であることを示す。
• $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 上への $\mathscr{J}_\infty^{(p^{-\infty})}$ の平坦な持ち上げ $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b}$ を構成し、それに対応するラポポルト＝ジンクス空間 $\mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$ を定義する。
• エタールおよびノイレット技術を用いて、自然な準同型 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \to \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$ が、$\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 上の形式的スキームとして同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マントヴァンの PEL 型シムーラ多様体に対するほぼ積構造は、$p$ におけるハイパースペシャルレベル構造をもつホッジ型シムーラ多様体に拡張可能か？
• RQ2 カライアーニとショルツェの無限レベル積構造はホッジ型設定に拡張可能か？
• RQ3 良い還元をもつホッジ型シムーラ多様体におけるニュートン層のパーフェクションは、プロ・エタール局所的に中央葉とラポポルト＝ジンクス空間の積に同型か？
• RQ4 ニュートン層上のユニバーサル $p$-除法群の自明化のモジュライ空間は、イグザ多様体およびラポポルト＝ジンクス空間とグローバルに積構造をもつか？
• RQ5 ニュートン層の一般層の構造は、パーフェクトイド空間の観点からどのように記述できるか？

主な発見

• ニュートン層のパーフェクション $\mathscr{S}_{G,0}^{\mathbf{b},(p^{-\infty})}$ は、中央葉 $C$ とラポポルト＝ジンクス空間 $\mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})$ の積 $C^{(p^{-\infty})} \times \mathscr{M}_{G,\mu}(\mathbf{b})^{(p^{-\infty})}$ にプロ・エタール局所的に同型である。
• 形式的スキームとしての自然な同型 $\mathfrak{Ig}^\mathbf{b} \times \mathfrak{M}_{G,\mu}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} \mathfrak{X}^{\mathbf{b}}$ が $\operatorname{Spf}\breve{\mathbb{Z}}_p$ 上に存在し、グローバルな積構造を確立する。
• この同型のアディック一般層は、同型 $Ig^\mathbf{b} \times M_{G,\mu,\infty}(\mathbf{b}) \stackrel{\sim}{\to} X_\infty^\mathbf{b}$ を誘導し、$X_\infty^\mathbf{b}$ がプリパーフェクトイドであることを示す。
• $\pi_\infty^{(p^{-\infty})}$ は、ユニバーサル $p$-除法群とそのクリスタル的タートensorを持つ自己準同型的自己準同型の群による torsor である。
• $r_\infty^{(p^{-\infty})}$ は、同一の $p$-除法群の自己同型群による torsor である。
• この構成は、対応する簡約部分スキームおよび制限された形式的近傍に同型を誘導するため、エタールであり、したがってヤコブソンスキーム上で同型である。