[論文レビュー] On the Parameter Estimation in the Schwartz-Smiths Two-Factor Model

Karol Binkowski, Peilun He+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2021

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、カルマンフィルタを用いたシュワーツ＝シュミット二要因モデルの共同パラメータ推定手法を提案する。尤度関数におけるパラメータ同定問題を解消するために追加制約を導入し、モデルパラメータおよび未観測状態変数の整合的な条件付き最尤推定量（MLE）を達成する。シミュレーションスタディにより、収束性および頑健性が確認された。

ABSTRACT

The two unobservable state variables representing the short and long term factors introduced by Schwartz and Smith in [16] for risk-neutral pricing of futures contracts are modelled as two correlated Ornstein-Uhlenbeck processes. The Kalman Filter (KF) method has been implemented to estimate the short and long term factors jointly with un- known model parameters. The parameter identification problem arising within the likelihood function in the KF has been addressed by introduc- ing an additional constraint. The obtained model parameter estimates are the conditional Maximum Likelihood Estimators (MLEs) evaluated within the KF. Consistency of the conditional MLEs is studied. The methodology has been tested on simulated data.

研究の動機と目的

• 二要因モデルのパラメータ推定において、カルマンフィルタ尤度関数におけるパラメータ同定問題に対処すること。
• 未観測の短期および長期要因（$\chi_t$, $\xi_t$）とモデルパラメータ（$\kappa$, $\gamma$, $\mu_\xi$, $\sigma_\chi$, $\sigma_\xi$, $\rho_{\chi\xi}$）を同時に推定する手法を開発すること。
• カルマンフィルタフレームワーク内での条件付き最尤推定量（MLE）の整合性を保証すること。
• リスク中立的二要因モデル下でシミュレートされたデータを用いて、提案手法の推定手法を検証すること。

提案手法

• スポット価格の対数を $\log(S_t) = \chi_t + \xi_t$ としてモデル化し、$\chi_t$ と $\xi_t$ を相関するオーナイズ・ウーレンプ過程とする。
• 未観測状態ベクトル $x_t = (\chi_t, \xi_t)^\top$ を有する部分観測線形状態空間モデルとしてシステムを定式化する。
• 条件付き最尤推定を用いて、カルマンフィルタアルゴリズムにより状態変数とモデルパラメータを同時に推定する。
• 分散共分散構造の同定不能性に起因するパラメータ同定問題を解消するため、尤度関数に追加制約を導入する。
• MLE推定の収束性および安定性を向上させるために、初期パラメータ探索にグリッドサーチを用いる。
• 二変量オーナイズ・ウーレンプ過程のダイナミクスに基づき、リスク中立的測度下での状態ベクトルの条件付き平均および共分散の解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルマンフィルタは、シュワーツ＝シュミット二要因モデルにおいて、未観測状態変数とモデルパラメータを同時に推定するためにどのように適合可能か？
• RQ2 このモデルのカルマンフィルタ尤度関数におけるパラメータ同定問題を解消するために必要な制約は何か？
• RQ3 得られた条件付き最尤推定量（MLE）は、モデルパラメータおよび状態の整合性を有するか？
• RQ4 シミュレーションにおいて、異なるパラメータ設定および標本サイズ下で、共同推定手順はどの程度頑健か？
• RQ5 グリッドサーチ初期化は、MLEの収束および正確な推定を達成するためにどの程度有効か？

主な発見

• 提案手法は、追加制約を導入することにより、カルマンフィルタ尤度関数におけるパラメータ同定問題を効果的に解消し、モデルパラメータおよび未観測状態の共同推定を可能にした。
• 提案フレームワーク下で、モデルパラメータおよび状態ベクトル $x_t = (\chi_t, \xi_t)^\top$ の条件付きMLEは整合的であることが示された。
• シミュレーション結果は、グリッドサーチ初期化が安定的かつ正確なパラメータ推定を達成する上で頑健な性能を示したことを示している。
• 標本サイズが増加するにつれて、推定パラメータが真の値に収束することが確認され、推定量の整合性が裏付けられた。
• 制約付き尤度推定を施したカルマンフィルタは、シミュレートされたデータにおいて、商品先物価格のリターン構造を効果的に再現できた。