[論文レビュー] On the probabilistic approach to the solution of generalized fractional differential equations of Caputo and Riemann-Liouville type

Ma. Elena Hernández-Hernández, Kolokoltsov, V. N.|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間変更された Lévy 过程の生成子として作用素を解釈することにより、Caputo 型および Riemann-Liouville 型の一般化された分数階微分方程式を確率的枠組みで解く手法を提案する。適切な定義と明示的解の導出がなされ、特に β 稳定的サブオルダに起因する時間変更された Lévy 過程の関数の期待値を用いて、Mittag-Leffler 関数および安定的密度関数を用いた閉形式解が得られる。

ABSTRACT

This paper provides a probabilistic approach to solve linear equations involving Caputo and Riemann-Liouville type derivatives. Using the probabilistic interpretation of these operators as the generators of interrupted Feller processes, we obtain well-posedness results and explicit solutions (in terms of the transition densities of the underlying stochastic processes). The problems studied here include fractional linear differential equations, well analyzed in the literature, as well as their far reaching extensions.

研究の動機と目的

• 一般化された分数階微分方程式に現れる Caputo 型および Riemann-Liouville 型作用素を扱う確率的アプローチの開発。
• 複数の時間変数にわたる混合分数階微分作用素を含む方程式についての適切な定義と明示的解の確立。
• 時間変更された Lévy 過程の遷移密度関数および停止時刻を用いた解の確率的表現の提供。
• Feynman-Kac 公式を用いた既知の Mittag-Leffler 関数の積分表現に対する新たな確率的証明の提示。
• 確率的生成子を用いた古典的分数階微分方程式の多項式型および混合型作用素への拡張。

提案手法

• 時間変更された Lévy 過程を介して、一般化された Caputo 型および Riemann-Liouville 型作用素を中断された Feller 過程の生成子として解釈する。
• Feynman-Kac 公式を用いて、時間変更過程の経路に沿った指数関数的関数積分の期待値として解を表現する。
• 生成子に関連する martingale に Doob の optional stopping 定理を適用し、境界条件の整合性を導出する。
• 時間変更過程と最初の通過時刻の同時密度関数を用いて、多次元時間領域における解を計算する。
• 有界可測関数の空間上で定義された解の作用素およびポテンシャル作用素を用いて解を構成する。
• 時間変更のメカニズムを記述するため、β 種安定的サブオルダおよびその逆サブオルダを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された Caputo 型および Riemann-Liouville 型の分数階微分方程式は、どのように確率的手法を用いて解けるか。
• RQ2 中断された Feller 過程の生成子と一般化された分数階微分作用素との間にはどのような関係があるか。
• RQ3 Caputo 型および Riemann-Liouville 型作用素を併用する混合型分数階方程式に対し、明示的解を導出できるか。
• RQ4 確率的表現を通じて、解は Mittag-Leffler 関数および安定的密度関数とどのように関係するか。
• RQ5 既知の Mittag-Leffler 関数の積分表現に対する確率的根拠は何か。

主な発見

• 初期値 $u(a) = u_a$ を持つ Caputo 型方程式 $-D_{a+*}^{( u)}u(t) = \nu u(t) - g(t)$ の解は、β 種安定的サブオルダに起因する時間変更経路に沿った $g$ の期待値を含む確率的表現で与えられる。
• 作用素 $-_{t_1}D_{0+}^{( u_1)}$ および $-_{t_2}D_{0+*}^{( u_2)}$ を含む混合分数階方程式の解は、$w_\beta$ および $w_\beta$ の安定的密度関数を含む同時密度関数を用いた時間変更過程における二重積分として表現される。
• Mittag-Leffler 関数を用いた古典的な Caputo 分数階方程式の解公式が、β 種安定的サブオルダの最初の通過時刻の期待値として確率的に再構成される。
• β 種安定的サブオルダの到達時刻のラプラス変換を用いて、Mittag-Leffler 関数の積分表現に対する新たな確率的証明が確立される。
• 解作用素が $B[\textbf{0},\textbf{b}]$ 上で有界かつ適切に定義されており、$g$ および境界データにやや弱い正則性条件が課されれば収束が保証される。
• $\lambda = 0$ の場合、解はポテンシャル作用素 $\mathfrak{R}_0^{\textbf{0}+(\nu)*}$ で与えられ、非指数的減衰型の外力項に対してもフレームワークが拡張可能である。