[論文レビュー] On the $\psi$-Hilfer fractional derivative

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、別の関数 $ψ$ に関する新しい分数階微分である $ψ$-Hilfer 分数微分を導入する。既存の分数階微分の枠組みを一般化し、$ψ$-分数積分およびMittag-Leffler関数の性質を活用することで、統一的な分数積分および微分のクラスを確立し、記憶性や継承的性質を示す複雑なシステムのモデリングに柔軟なツールを提供する。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional derivative with respect to another function the so-called $\psi$-Hilfer fractional derivative. We discuss some properties and important results of the fractional calculus. In this sense, we present some uniformly convergent sequence of function results and examples involving the Mittag-Leffler function with one parameter. Finally, we present a wide class of integrals and fractional derivatives, by means of the fractional integral with respect to another function and the $\psi$-Hilfer fractional derivative.

研究の動機と目的

• 参照関数 $ψ$ を組み込むことで、既存の分数階微分の概念を一般化する新しい分数微分、すなわち $ψ$-Hilfer 微分を構築すること。
• $ψ$-分数積分と新規微分を用いて、広範な分数積分および微分のクラスを統一すること。
• $ψ$-Hilfer 微分の理論的基盤を確立すること。具体的には、収束性の性質や関数列の性質を含む。
• 1パラメータのMittag-Leffler関数を用いた例を通じて、この枠組みの適用可能性を示すこと。

提案手法

• $ψ$-Hilfer 分数微分は、関数 $ψ$ に関する分数積分を用いて定義され、古典的なHilfer微分を拡張する。
• 本手法は、Riemann-Liouville型およびCaputo型の分数積分を一般化する $ψ$-分数積分作用素に依存する。
• 微分の挙動の安定性と一貫性を保証するため、関数列の一様収束性を分析する。
• 例の構築と検証に用いる主要な解析的道具として、1パラメータのMittag-Leffler関数が用いられる。
• $ψ$-依存の形式的枠組みを通じて、分数積分と微分を1つの整合的構造に統合する。
• 関数列および積分変換の下での $ψ$-Hilfer 微分の挙動を含む、理論的結果がその性質に基づいて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hilfer 分数微分は、モデリングの柔軟性を高めるために、参照関数 $ψ$ を含める形にどのように一般化できるか？
• RQ2 $ψ$-Hilfer 微分の基本的性質および関数列における収束挙動は何か？
• RQ3 $ψ$-Hilfer 微分は、既存の分数積分および微分作用素とどのように関係しているか？
• RQ4 1パラメータのMittag-Leffler関数は、$ψ$-Hilfer枠組み内での例の構築と検証に、どのような方法で利用できるか？
• RQ5 $ψ$-Hilfer 微分を用いて、分数積分および微分の統一的クラスを体系的に導出できるか？

主な発見

• $ψ$-Hilfer 分数微分は、参照関数 $ψ$ を導入することで、古典的なHilfer微分を一般化し、複雑なシステムのモデリングへの応用範囲を広げる。
• $ψ$-Hilfer 微分に対して一様収束する関数列が確立され、解析的安定性と一貫性が保証される。
• 本枠組みは、$ψ$-分数積分と新規微分作用素を用いることで、広範な分数積分および微分のクラスを効果的に統一する。
• 1パラメータのMittag-Leffler関数に基づく例は、提案された微分の実用的有用性および解析的取り扱いやすさを示している。
• $ψ$-Hilfer 微分は、既存の分数階作用素の範囲を拡張する柔軟で体系的な分数階微分のアプローチを提供する。