[論文レビュー] On the real representations of the Poincare group

K. Pedro|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ポincare群の実ユニタリ非可約表現を体系的に研究し、相対論的量子力学における局在化およびエネルギー正定性の問題を解決することを示している。エネルギー正定性、局在化、因果的共変性を満たすのは、実、質量のあるスピン1/2または質量のないヘリシティ1/2の表現に限られ、これがマヨラナフェルミオンおよび量子場理論における実スカラー場の定式化の基礎をなす。

ABSTRACT

The formulation of quantum mechanics with a complex Hilbert space is equivalent to a formulation with a real Hilbert space and particular density matrix and observables. We study the real representations of the Poincare group, motivated by the fact that the localization of complex unitary representations of the Poincare group is incompatible with causality, Poincare covariance and energy positivity. We review the map from the complex to the real irreducible representations---finite-dimensional or unitary---of a Lie group on a Hilbert space. Then we show that all the finite-dimensional real representations of the identity component of the Lorentz group are also representations of the parity, in contrast with many complex representations. We show that any localizable unitary representation of the Poincare group, compatible with Poincare covariance, verifies: 1) it is a direct sum of irreducible representations which are massive or massless with discrete helicity. 2) it respects causality; 3) if it is complex it contains necessarily both positive and negative energy subrepresentations 4) it is an irreducible representation of the Poincare group (including parity) if and only if it is: a)real and b)massive with spin 1/2 or massless with helicity 1/2. Finally, the energy positivity problem is discussed in a many-particles context.

研究の動機と目的

• 相対論的量子力学におけるポincare群の複素ユニタリ表現が因果的性、ポincare共変性、エネルギー正定性と不整合を示す問題を解決すること。
• 実ヒルベルト空間における量子力学の定式化が、特に基本粒子に対して複素定式化の有効な代替手段となり得るかを調査すること。
• 実ユニタリ表現としてのポincare群のうち、局在化可能で相対論的因果的性およびエネルギー正定性と整合するものは何かを特定すること。
• マヨラナフェルミオンおよび電弱相互作用の文脈において、実表現におけるパリティおよび電荷共役対称性の役割を明確にすること。
• 複素表現から実非可約表現への1対1または2対1の全単射写像を確立し、実表現が派生的ではなく根本的であることを示すこと。

提案手法

• リー群、特にポincare群の複素表現から実非可約表現への写像を、実化および複素化の技法を用いて構成する。
• ローレンツ群の恒等成分の有限次元実表現を分析し、それらがパリティの表現であることを証明する。これは、多くの複素表現とは異なり、常にパリティの表現である。
• 不変系系を用いて実ヒルベルト空間における位置演算子を定義し、非可約実表現ではそれが複素線形ではなく実線形であることを示す。
• バーグマン＝ヴァイナー形式を用いて、離散的スピンおよびヘリシティを持つポincare群の実ユニタリ非可約射影表現を導出する。
• マヨラナ＝フォーリエ変換およびマヨラナ＝ハンケル変換を用い、実表現における座標空間と運動量空間との関係を確立する。
• 運動量 $p$ が基準となる正エネルギー運動量 $q$ に対して $p \cdot q > 0$ を満たす条件を課すことにより、ポincare共変性、因果的性、エネルギー正定性を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実ユニタリ表現としてのポincare群は、複素表現に見られる局在化、因果的性、エネルギー正定性の不整合を解消できるか？
• RQ2 実ユニタリ非可約表現としてのポincare群のうち、局在化可能で相対論的因果的性およびポincare共変性と整合するものは何か？
• RQ3 なぜ複素表現としてのポincare群は、単粒子理論において本質的にエネルギー正定性および局在化と不整合を示すのか？
• RQ4 実表現は、マヨラナフェルミオン、ヒッグスボソン、および電磁場の物理的記述とどのように関係するか？
• RQ5 観測可能量がU(1)対称性に関して不変でなければならないという要請は、局在化に必要であるのか、それとも不自然な不整合を生じさせるのか？

主な発見

• 因果的性およびポincare共変性と整合する局在化可能なユニタリ表現は、すべて離散的スピンまたはヘリシティを持つ非可約表現の直和である。
• ユニタリ表現が複素であることは、正エネルギーおよび負エネルギーの部分表現を含むことと同値であり、多粒子系を除いてエネルギー正定性に反する。
• パリティを含む完全なポincare群の非可約ユニタリ表現の中で、局在化可能で因果的かつエネルギー正定性を満たすのは、質量のあるスピン1/2または質量のないヘリシティ1/2の実表現に限られる。
• ローレンツ群の恒等成分の有限次元実表現は、常にパリティの表現である。これは、多くの複素表現とは対照的である。
• エネルギー正定性条件 $p \cdot q > 0$ はローレンツ変換に対して不変であり、実ヒルベルト空間におけるエネルギーの符号の整合的基準を定義する。
• 複素表現における局在化問題は、相対性理論そのものに起因するのではなく、観測可能量がU(1)不変でなければならないという仮定に起因する。これは、実ヒルベルト空間定式化と不整合を示す。