[論文レビュー] On the reduction of the Siegel moduli space of abelian varieties of dimension 3 with Iwahori level structure

Philipp Hartwig|ArXiv.org|Nov 30, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数における、Iwahoriレベル構造を備えたアーベル3倍体のモジュライ空間から、主に極化されたアーベル3倍体のモジュライ空間への標準的射影の纤维について、明示的な幾何的記述を提供する。Dieudonné理論とフラッグ多様体を用いて、これらの纤维の構造を特定し、Iwahoriレベル空間における特異的局在が等次元的であることを確立する。また、Kottwitz-Rapoport層と特異的局在の交わりの次元を明確に特定する。

ABSTRACT

We study the moduli space of abelian threefolds with Iwahori level structure in positive characteristic. We explicitly determine the fibers of the canonical projection to the moduli space of principally polarized abelian varieties and draw conclusions about the relationship between the Ekedahl-Oort, the Kottwitz-Rapoport and the Newton stratification on these spaces.

研究の動機と目的

• g=3 に対して、𝒜_I が Iwahoriレベル構造を備えたアーベル3倍体をパラメトライズし、𝒜_g が主に極化されたアーベル3倍体をパラメトライズするとき、標準的射影 π: 𝒜_I → 𝒜_g の纤维を明示的に記述すること。
• Iwahoriレベルモジュライ空間上でのKottwitz-Rapoport (KR)、Ekedahl-Oort (EO)、およびニュートン層の関係を分析すること。
• どのKR層が特異的局在 𝒮_I と非自明に交わるかを特定し、それらの交わりの次元を計算すること。
• g=3 の場合に、KR層と特異的局在の交わりが等次元的であることを確立すること。
• 関数体の場合の知見を還元法を用いて算術的設定へと拡張し、KR層とアフィンデリーニ＝ルスティグ多様体を結びつけること。

提案手法

• 古典的Dieudonné理論を用いて、各纤维 π⁻¹(A) を 𝔽̄_p 上のフラッグ多様体に埋め込み、普遍的に単射かつ有限な準同型として実現する。
• 各纤维の像を、基点 A のEkedahl-Oort層に対応する最終系列 ψ によって定まる、完全フラッグ多様体内の閉部分多様体 Flag^⊥,F,V_ψ ⊂ として特徴付ける。
• GSp_6 の拡大アフィンワイル群における許容集合の理論を適用し、Adm(μ) ∩ W_aτ に属する元を用いてKR層をパラメトライズする。
• 命題 LABEL:DimProp を用いた次元論的議論により、纤维と層の閉包の次元を比較する。
• 特に0次元EO層に対して、纤维の像の行列モデルを明示的に用いて、既約性と次元を分析する。
• Deligne-Lusztig理論からの還元技術を活用し、𝒜_I,x ∩ 𝒮_I の幾何を関数体の場合のアフィンデリーニ＝ルスティグ多様体と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g=3 のIwahoriレベルモジュライ空間におけるどのKottwitz-Rapoport層が、特異的局在を非自明に交わるか？
• RQ2 g=3 の場合に、各KR層と特異的局在の交わりの次元は何か？
• RQ3 各KR層と特異的局在の交わりが等次元的であるか？
• RQ4 g=3 のIwahoriレベル空間上でのEkedahl-Oort層とニュートン層の関係はいかなるものか？
• RQ5 纤维 π⁻¹(A) の幾何は、その背後にあるバーランティ・テイト群およびそのDieudonnéモジュールの構造をどの程度反映しているか？

主な発見

• 0次元のEkedahl-Oort層（ψ₀）に対して、纤维 π⁻¹(A) はフラッグ多様体 Flag^⊥,F,V_ψ₀ に普遍的にホメオモーフィックであり、これは次のように既約成分に分解される：完全フラッグ多様体 Y、曲線上の ℙ¹-バンドルの上に ℙ¹-バンドルをとった多様体 Z、および ℙ²(𝔽_{p²}) 内の曲線をインデックスとする ℙ¹ の族。
• 特異的局在 𝒮_I ⊂ 𝒜_I は次元3の等次元的であり、その各既約成分はKR層の閉包の成分である。
• x ∈ {s₃₁₀τ, s₃₂₀τ, s₃₁₂₀τ, s₂₃₀₁τ} に対応するKR層に対して、交わり 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I の次元はそれぞれ2または3であり、これらは等次元的である。
• 交わり 𝒜_I,x ∩ 𝒮_I が次元 n で等次元的であることは、関数体の場合の対応するアフィンデリーニ＝ルスティグ多様体が次元 n で等次元的であることと同値であり、深い類似関係を示唆する。
• 特異的特異点局在内の2次元EO層は特異的局在に含まれないため、3次元EO層は 𝒮₃ において稠密な開部分集合と交わる。
• 特異的特異点アーベル3倍体 A ∈ 𝒜₃(𝔽̄_p) の上の纤维は、Flag^⊥,F,V_ψ₀ に普遍的にホメオモーフィックであり、その像は次元3の閉かつ既約かつ等次元的多様体である。