[論文レビュー] On the refined conjectures on Fitting ideals of Selmer groups of elliptic curves with supersingular reduction

Chan-Ho Kim, Masato Kurihara|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、奇素数 $p$ において上昇的還元をもつ楕円曲線の、サイクロトニック $\mathbb{Z}_p$-拡大の有限層におけるセレール群のフィットィド・イデアルに関する弱いおよび強い主予想を証明する。$\pm$-イwasawa理論を用いて、有限層におけるセレール群、$\pm$-セレール群、およびファイン・セレール群を明示的に比較することで、著者らは、$\pm$-主予想および誤差項の消滅の下で、Mazur-Tate 要素とそのトレースがフィットィド・イデアルを生成することを確立した。これは、洗練されたイwasawa理論における重要なケースを解決する。

ABSTRACT

In this paper, we study the Fitting ideals of Selmer groups over finite subextensions in the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of $\mathbb{Q}$ of an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. Especially, we present a proof of the "weak main conjecture" à la Mazur and Tate for elliptic curves with good (supersingular) reduction at an odd prime $p$. We also prove the "strong main conjecture" suggested by the second named author under the validity of the $\pm$-main conjecture and the vanishing of a certain error term. The key idea is the explicit comparison among "finite layer objects", "$\pm$-objects", and "fine objects" in Iwasawa theory. The case of good ordinary reduction is also treated.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p$ において上昇的還元をもつ楕円曲線について、サイクロトニック $\mathbb{Z}_p$-拡大の有限層におけるセレール群のフィットィド・イデアルに関する弱い主予想を、$p$- torsion が有理点に存在しないと仮定して、条件なしに確立すること。
• $\pm$-主予想および特定の誤差項の消滅の下で、強い主予想を証明すること。
• 有限層におけるセレール群、$\pm$-セレール群、およびファイン・セレール群の比較を通じて、洗練されたイwasawa理論を上昇的還元の設定に拡張すること。
• 特にファイン・セレール群が「すべてのモーデル・ヴェイユ群」であるような明示的な例を提供し、強い主予想が成り立つ場合を示すこと。
• $\pm$-イwasawa理論および加群論的技法を用いて、フィットィド・イデアルの構造を明らかにし、特に主イデアルでない上昇的還元の場合の特徴を解明すること。

提案手法

• サイクロトニック $\mathbb{Z}_p$-拡大の有限層におけるセレール群、$\pm$-セレール群、およびファイン・セレール群の明示的比較。
• 小林およびポラックのアプローチに従う $\pm$-イwasawa理論を用いて、上昇的素数における非通常的挙動を扱うこと。
• 有限 $\Lambda$-部分加群が存在しない状況下で特徴的イデアルとフィットィド・イデアルを関連付けるために、フィットィド・イデアル技法およびアウスランダー＝ブッシャルムの公式の適用。
• 有限層比較に由来する誤差項 $\mathrm{Err}_n$ の分析を行い、特定の仮定の下でその消滅を示すこと。
• イwasawa主予想および制御定理を活用して、セレール群のフィットィド・イデアルに対する下界を導出すること。
• 特に商写像および加群分解の下で、$\Lambda_n$ および $\Lambda$ 上のフィットィド・イデアルを関連付けるために、補題 A.6–A.10 の利用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲線が $p$ で上昇的還元をもつ場合、有限層におけるMazur-Tate 要素は、双対セレール群のフィットィド・イデアルに属するか？
• RQ2 $\pm$-主予想の下で、有限層におけるセレール群のフィットィド・イデアルは、Mazur-Tate 要素とその下位層からのトレースによって生成可能か？
• RQ3 セレール群とファイン・セレール群の間の有限層比較において生じる誤差項 $\mathrm{Err}_n$ の役割は何か？ そして、どのような条件下で消えるか？
• RQ4 $\pm$-セレール群およびファイン・セレール群は、上昇的還元の設定において、古典的セレール群とどのように関係するか？
• RQ5 セレール群のフィットィド・イデアルが主イデアルになる条件は何か？ また、どのような場合に主イデアルでなくなるか？

主な発見

• 上昇的還元をもつ楕円曲線について、$p$- torsion が有理点に存在しないと仮定した下で、弱い主予想（予想 1.4）は条件なしに証明された。
• 定理 1.20 において、$\pm$-主予想および誤差項 $\mathrm{Err}_n$ の消滅の下で、強い主予想（予想 1.6）が確立された。特に、これらの条件を満たす明示的な例が提示された。
• ファイン・セレール群が「すべてのモーデル・ヴェイユ群」である場合、誤差項 $\mathrm{Err}_n$ は消える。これは、強い予想が成り立つ具体的なクラスの例を提供する。
• 定理 1.18 において、強い主予想の弱い版が証明された。ここでフィットィド・イデアルは、Mazur-Tate 要素とそのトレースによって、誤差項を除いて生成される。
• 上昇的還元の場合、セレール群のフィットィド・イデアルは決して主イデアルでない。これは、通常の場合に主イデアルであるのとは対照的である。
• 主な技術的道具は、有限層におけるセレール群と $\pm$-セレール群およびファイン・セレール群の比較であり、これによりイwasawa理論的技法が上昇的還元の設定へと移行可能となった。