[論文レビュー] The Iwasawa Main Conjecture for elliptic curves at odd supersingular primes

Florian Sprung|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、奇数の特異的素数 $p$ における楕円曲線の Iwasawa 主予想を証明し、$p$-進 $L$-関数 $L^\sharp$ と $L^\flat$ が、双対セレール群 $ \operatorname{Hom}(\operatorname{Sel}^{\sharp/\flat}(E/\mathbb{Q}_{\infty}), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)$ の特徴的多項式であることを確立した。証明は、補助的な虚二次体上での三つの主予想集合の同値性戦略に依拠し、整数係数オイラー系とグリーンバーグ型主予想を活用し、解析的階数 0 または 1 の場合に $p$-部の Birch and Swinnerton-Dyer 公式が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we prove the Iwasawa main conjecture for elliptic curves at an odd supersingular prime p. Some consequences are the p-parts of the leading term formulas in the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures for analytic rank 0 or 1.

研究の動機と目的

• 古典的定式化が非トーショントル Iwasawa 加群と非初等的 $p$-進 $L$-関数のため失敗する、奇数の特異的素数 $p$ における楕円曲線の Iwasawa 主予想を証明すること。
• 通常および複素乗乗法（CM）の場合を超えて、一般の特異的状況（$a_p \neq 0$ を含む）に主予想を拡張すること。
• 解析的階数 0 または 1 の場合に、Birch and Swinnerton-Dyer 公式の $p$-部を確立し、$L$-関数の先頭項と算術的不変量を結びつけること。
• 虚二次体上での整数係数オイラー系とグリーンバーグ型主予想を用いた枠組みを構築し、問題を扱いやすい形に還元すること。

提案手法

• 数体 $\mathbb{Q}$ 上での $\sharp/\flat$-$\sharp/\flat$ 主予想、整数係数オイラー系 $\Delta_{\sharp}$ と $\Delta_{\flat}$ を含む新規セット、および単一のグリーンバーグ型主予想の三つの主予想集合の同値性を確立する。
• Kings–Loeffler–Zerbes のオイラー系 $\Delta_{\alpha}$ と $\Delta_{\beta}$ から、整数係数オイラー系 $\Delta_{\sharp}$ と $\Delta_{\flat}$ を構成する。
• 小さな制御定理を用いて、$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{Q}_{\infty}$ 上のセレール群を関連付け、$L(E,1) \neq 0$ の仮定のもとで、特定の商の有限性を保証する。
• コロンベール写像と Iwasawa コホモロジーを含む可換図式にスネイク補題を適用し、$p$ での局所制限写像の単射性を証明する。
• $\Lambda$-加群の特徴的イデアル理論を用いて、$p$-進 $L$-関数 $L^{\sharp}$ と $L^{\flat}$ を双対セレール群の構造に関連付ける。
• ガロア表現としての $E[p]$ が既約であることから、$|E(\mathbb{Q})_p| = 1$ を導出し、BSD 公式における算術的不変量を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な $p$-進 $L$-関数が Iwasawa 環の外にある場合、奇数の特異的素数における楕円曲線の Iwasawa 主予想を証明できるか？
• RQ2 解析的階数 0 または 1 の特異的状況において、Birch and Swinnerton-Dyer 公式の $p$-部は成立するか？
• RQ3 虚二次体上でのグリーンバーグ型主予想を用いて、$\mathbb{Q}$ 上の $\sharp/\flat$-主予想をより取り扱いやすい形に還元できるか？
• RQ4 整数係数オイラー系 $\Delta_{\sharp}$ と $\Delta_{\flat}$ の存在が、特異的状況におけるカトウの定理の完全な逆を可能にするか？

主な発見

• $p$-進 $L$-関数 $L^{\sharp}$ と $L^{\flat}$ は、それぞれ Iwasawa 加群 $\operatorname{Hom}(\operatorname{Sel}^{\sharp/\flat}(E/\mathbb{Q}_{\infty}), \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)$ の特徴的多項式である。これは特異的状況における主予想の証明である。
• 解析的階数 0 の場合、$L(E,1)/\Omega$ の先頭項の $p$-進付値は、$|\Sha(E/\mathbb{Q})| \cdot \prod_l c_l$ の $p$-進付値に等しく、2 と悪い素数のべきを除いて一致する。
• 解析的階数 1 の場合、$L'(E,1)/(\operatorname{Reg}(E/\mathbb{Q}) \cdot \Omega)$ の $p$-進付値は、$|\Sha(E/\mathbb{Q})| \cdot \prod_l c_l / |E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tor}}|^2$ の $p$-進付値に等しい。
• 写像 $r_p: H^1(\mathbb{Q}_p, E[p^\infty]) / (E(\mathbb{Q}_p) \otimes \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p) \to H^1(\mathbb{Q}_{p,\infty}, E[p^\infty]) / E^\sharp_{\infty,p}$ は単射であり、制御定理の重要なステップである。
• 小さな制御定理は、$\mathcal{X}^\bullet / X\mathcal{X}^\bullet$ と $\mathcal{X}_0^\bullet / X\mathcal{X}_0^\bullet$ 間で有限核と全射を有し、セレール群のガロア不変部分群の有限性を保証する。
• 双対セレール群の特徴的イデアルは $f^\bullet(0)$ で生成され、その $p$-進付値はセレール群のガロア不変部分と非不変部分のサイズ比と一致する。