[論文レビュー] On the regularity of geodesic rays associated to test configurations

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特異点の解消とモンジュ＝アンペール方程式の下解技術を用いて、正のラインバンドルを備えたコンpact複素多様体上のケーラー計量空間における$C^{1,1}$測地線を構成する。主な貢献は、任意のテスト配置に関連するこのような測地線の存在を証明することであり、これは、解体された全空間上の不変計量を用いることで、測地線セグメントの正則性理論を測地線へと拡張するものである。

ABSTRACT

Geodesic rays of class C^{1,1} are constructed for any test configuration of a positive line bundle L on X using resolution of singularities. The construction reduces to finding a subsolution of the corresponding Monge-Ampere equation. Geometrically, this is accomplished by the use a positive line bundle on the resolution which is trivial outside of the exceptional divisor.

研究の動機と目的

• 正のラインバンドルのテスト配置に関連するケーラー計量空間における$C^{1,1}$測地線の存在を確立すること。
• 従来のベルグマン近似と弱極限を用いた測地線セグメントのプログラムを、測地線の状況へと拡張すること。
• テスト配置の全空間の解体におけるモンジュ＝アンペール方程式の下解の構成を通じて、測地線の正則性問題を解決すること。
• 解体された全空間上の不変計量を用いた幾何的枠組みを提供し、得られる測地線の$C^{1,1}$正則性を保証すること。

提案手法

• 特異点の解消を用いて、テスト配置の全空間$\mathcal{X}$の滑らかなコンpakティフィケーション$\tilde{\mathcal{X}}$を構成し、$\mathbb{C}^\times$作用に関して等変となるようにする。
• 例外的除集合の外では自明な正のラインバンドルを$\tilde{\mathcal{X}}$上に構成し、モンジュ＝アンペール方程式の下解の構成を可能にする。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上に、中心ファイバーにおける所定の境界値と不変な曲率形式を持つ$\mathbb{C}^\times$-不変ケーラー計量$\Omega$を定義する。
• Caffarelli–Kohn–Nirenberg–SpruckおよびGuanの理論を適用し、$\tilde{\mathcal{X}}$上でのモンジュ＝アンペール方程式の解の$C^{1,1}$正則性を導出し、測地線が$C^{1,1}$であることを保証する。
• $\mathbb{C}^\times$作用による不変性を活用して、モンジュ＝アンペール方程式をファイバー空間$X \times D^\times$上の測地方程式に還元し、解が測地線を定義することを保証する。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上でのモンジュ＝アンペール方程式の解の一意性を活用し、構成された測地線が適切に定義されており、補助的選択に依存しないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体上の正のラインバンドルのテスト配置に対して、常に$C^{1,1}$測地線を構成できるか？
• RQ2 テスト配置の全空間の解体上でのモンジュ＝アンペール方程式の下解の存在が、$C^{1,1}$測地線の存在を保証するか？
• RQ3 解体技術と曲率推定を用いて、もともとの空間が厳密に擬凸でない場合でも、測地線の正則性を確立できるか？
• RQ4 $\mathbb{C}^\times$作用による解の不変性は、ファイバーバンドル$X \times D^\times$上の測地方程式とどのように関係するか？
• RQ5 このような測地線の構成は、測地線セグメントの場合と同様に、ベルグマン測地線の漸近的挙動と整合的か？

主な発見

• 任意の正のラインバンドルのテスト配置に対して、コンパクト複素多様体上でのケーラー計量空間に$C^{1,1}$測地線が存在し、測地線セグメントの正則性結果を測地線へと拡張した。
• この構成は、テスト配置の全空間の特異点の解消と、解体された空間上でのモンジュ＝アンペール方程式の下解の構成に依存する。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上に、所定の境界値と曲率形式を満たす$\mathbb{C}^\times$-不変ケーラー計量$\Omega$が構成された。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上でのモンジュ＝アンペール方程式の解$\Phi$は、不変性による還元を通じて、$X \times D^\times$上での$C^{1,1}$測地線を誘導する。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上でのモンジュ＝アンペール方程式の解の一意性により、測地線が適切に定義されており、補助的選択に依存しないことが保証された。
• この方法により、トーリックの場合と同様に、このような測地線の最良正則性が$C^{1,1}$であることが確認され、先行研究と整合的である。