[論文レビュー] Space of Kähler metrics III--On the lower bound of the Calabi energy and geodesic distance

Xiaojuan Chen|ArXiv.org|Jun 9, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、任意のケーラー類においてカルビ・エネルギーの均一な下界を確立し、有界リッチ曲率と直径のもとでKエネルギー汎関数の正規性を証明し、同次複素マソン＝アーベル方程式における$C^{1,1}$推定を用いてケーラー汎関数空間内の測地線の放射の枠組みを構築する。主な貢献は、カルビ・エネルギーの下界に関する古くからの予想の証明であり、ケーラー計量の収束性と極値計量の一意性への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we first prove a folklore conjecture on a greatest lower bound of the Calabi energy in all Kähler manifold. Similar result in algebriac setting was obtained by S. K. Donaldson. Secondly, we give an upper/lower bound estimate of the K energy in terms of the geodesic distance and the Calabi energy. This is used to prove a theorem on convergence of Kähler metrics in holomorphic coordinates, with uniform bound on the Ricci curvature and the diameter. Thirdly, we set up a framework for the existence of geodesic rays when an asymptotic direction is given. I

研究の動機と目的

• 任意のケーラー類におけるカルビ・エネルギーの下界の最大下界に関する古くからの予想を証明すること。
• 測地線距離とカルビ・エネルギーの観点から、Kエネルギーの上界と下界を確立すること。
• 周囲幾何が有界である条件下で、所定の漸近的方向を持つ測地線の放射の存在に関する枠組みを構築すること。
• 特に非有界領域において、ケーラー汎関数空間内の測地線の正則性理論を$C^{1,1}$を超えて拡張すること。
• Kエネルギーの正規性と安定性を用いて、ヤウ＝ティアン＝ドナルダン予想を証明する基盤を提供すること。

提案手法

• 非有界領域における同次複素マソン＝アーベル（HCMA）方程式の$C^{1,1}$推定を用いて、測地線の放射を制御する。
• モノスの反復法とポアンカレ不等式を適用し、リッチ曲率と直径の有界性のもとでケーラー汎関数の$L^∞$推定を得る。
• Kエネルギー汎関数とその一次変分を用いて、積分推定を通じて測地線距離とカルビ・エネルギーを関連付ける。
• 周囲幾何が有界であるようにして測地線の放射を制御する新しい枠組みを導入し、相対的$C^{1,1}$推定を可能にする。
• 体積形式の制御に$\log(\omega_\varphi^n / \omega^n)$と、$u = \exp(-\lambda\varphi)(n + \triangle\varphi)$における最大原理の議論を用いて、曲率量を有界にする。
• カルビの予想の証明に用いられたヤウの方法を応用し、$\triangle F$と$\varphi$が有界である場合にケーラー計量の均一な同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のケーラー類において、計量の選択に依存しない正の定数によるカルビ・エネルギーの均一な下界が存在するか？
• RQ2 リッチ曲率と直径が一様に有界なもとで、測地線距離とカルビ・エネルギーの観点からKエネルギー汎関数が下から有界になるか？
• RQ3 ケーラー汎関数空間内に所定の漸近的方向を持つ測地線の放射が存在するための条件は何か？
• RQ4 HCMA方程式を用いて、非有界領域における測地線の$C^{1,1}$正則性推定を拡張できるか？
• RQ5 Kエネルギー汎関数の正規性は、計量およびその曲率に対する均一な$C^{1,\alpha}$有界性を示唆するか？

主な発見

• カルビ・エネルギーは、ケーラー類にのみ依存する正の定数から下界で抑えられ、長年の古くからの予想が裏付けられた。
• リッチ曲率と直径が一様に有界なもとで、Kエネルギーは正規性を示し、$J(\varphi) \leq C$および$\int_M |\varphi| \omega^n \leq C$が成り立ち、これが潜在関数の均一な$L^\infty$有界性を導く。
• $\varphi$の$L^\infty$有界性と$\log(\omega_\varphi^n / \omega^n)$の制御は、$\omega_\varphi$が背景計量$\omega$と均一に同値であることを示す。
• $\triangle F$と$\varphi$の有界性のおかげで、任意の$\alpha \in (0,1)$に対して、計量$\omega_\varphi$は均一に$C^{1,\alpha}$有界である。
• 非有界領域におけるHCMA方程式の$C^{1,1}$推定は、周囲幾何が有界なもとで、制御された正則性を持つ測地線の放射の構成を可能にする。
• この枠組みにより、同じ漸近的方向を持つ測地線の放射の相対的$C^{1,1}$推定が可能となり、ケーラー汎関数空間内での測地線の放射の存在を支援する。