[論文レビュー] On the Sparing Number of Certain Graph Structures

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特定のグラフ構造（パス、サイクル、結合、フラワーグラフ）における弱整数加法的集合インデクサ（IASI）のための、モノインデックス付きエッジの最小数であるスパースリング数を調査する。さまざまな設定におけるスパースリング数の正確な公式を確立し、特にフラワーグラフのスパースリング数がそのサイクルの偶奇性および分離型・接続型の有無に依存することを示している。奇数サイクルと偶数サイクル、およびそれらの結合に関する主要な結果が得られている。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. An IASI $f$ is said to be a weak IASI if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ for all $u,v\in V(G)$. A graph which admits a weak IASI may be called a weak IASI graph. The set-indexing number of an element of a graph $G$, a vertex or an edge, is the cardinality of its set-labels. A mono-indexed element of a graph is an element of $G$ which has the set-indexing number $1$. The Sparing number of a graph $G$ is the minimum number of mono-indexed edges required for a graph $G$ to admit a weak IASI. In this paper, we introduce the notion of conjoined graphs, entwined graphs and floral graphs and study further about the sparing number of various finite graph operations as extensions to our earlier studies and provide some useful results on these types of graph structures.

研究の動機と目的

• パスとサイクルを含むグラフ結合のスパースリング数を特定すること、特に頂点や辺を共有する場合を含む。
• 中心サイクルに複数の末端サイクルが接続されたグラフ（フラワーグラフ）のスパースリング数を、さまざまな構造的および偶奇的条件の下で分析すること。
• エンティンデッドやコナチュラルグラフのような複雑なグラフ構造における弱IASIの存在の必要十分条件を確立すること。
• 単純なグラフ（例：パスや二部グラフ）におけるスパースリング数の既存の結果を、より複雑な合成グラフ族へと拡張すること。
• グラフ積、アラームペタル、ミックスドペタルグラフにおける弱IASIの許容性に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• 弱整数加法的集合インデクサ（IASI）の定義を用いる。ここで、エッジのラベル集合のサイズは、接続する2つの頂点のラベル集合サイズの最大値に等しい。
• モノインデックス要素（集合インデクシング数が1の頂点またはエッジ）の概念を適用し、スパースリング数を弱IASIを実現するための最小モノインデックスエッジ数として定義する。
• グラフ理論的分解を用いる：結合やフラワーグラフの場合、グラフを部分グラフ（例：サイクル、パス）に分割して、エッジラベリングの制約を分析する。
• 既知の定理を適用する：例えば、二部グラフはスパースリング数0で弱IASIを有する。奇数サイクルは少なくとも1つのモノインデックスエッジを必要とする。
• サイクル長の偶奇性（奇数／偶数）および構造的タイプ（分離型対接続型フラワーグラフ）に基づくケース解析を用いて、最小モノインデックスエッジ数を導出する。
• 包含除算原理を適用する：定理1.11により、φ(G₁ ∪ G₂) = φ(G₁) + φ(G₂) − φ(G₁ ∩ G₂) が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有頂点に依存して、2つのパスの結合のスパースリング数はどのように変化するか？
• RQ2 サイクルとパスの結合におけるスパースリング数は、サイクルの偶奇性およびパスの接続点にどのように依存するか？
• RQ3 中心サイクルと複数の末端サイクルからなるフラワーグラフのスパースリング数は、サイクルの偶奇性に応じてどのように変化するか？
• RQ4 奇数または偶数サイクルを有する分離型と接続型フラワーグラフのスパースリング数は、どのように異なるか？
• RQ5 エンティンデッドやコナチュラルグラフのようなグラフが弱IASIを許容するための必要十分条件は何か？

主な発見

• 2つのパスの結合のスパースリング数は、それらがパスまたは偶数サイクルを形成する場合0であり、奇数サイクルを形成する場合1である。
• サイクルとパスの結合のスパースリング数は、サイクルが偶数でパスが2点に接続され、そのセグメントが偶数長の場合は0であり、サイクルが奇数またはセグメントの偶奇が混合している場合は1である。
• すべてのサイクル（核とペタル）が奇数の分離フラワーグラフでは、ペタル数lが奇数のときスパースリング数はl、偶数のときl+1である。
• すべてのサイクルが奇数の接続フラワーグラフでは、lが奇数のときスパースリング数は(l+1)/2、偶数のとき(l+2)/2である。
• 核が偶数ですべてのペタルが奇数の場合、接続グラフではスパースリング数は⌊(l+1)/2⌋、分離グラフではlである。
• 核が奇数ですべてのペタルが偶数の場合、偶数サイクルにおけるモノインデックスエッジの偶数個の必要性から、スパースリング数はl < kのとき少なくとも1、l = kのとき少なくとも2である。