[論文レビュー] On the T-leaves of some Poisson structures related to products of flag varieties

Jiang-Hua Lu, Victor Mouquin|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リー代数双代数作用および準三角的 r-行列から生じるポアソン構造における T-葉と葉安定化部分群の一般理論を構築し、その後、複素単純代数群 G の旗多様体および関連する空間の積における4つの系列の正則ポアソン構造に応用する。主な結果は、T-葉が拡張リチャードソン多様体と拡張二重ブルガット胞体の和集合として完全に記述され、リー代数作用および r-行列幾何を用いて葉安定化部分群とシンプレクティック葉次元が明示的に計算されることである。

ABSTRACT

For a connected abelian Lie group T acting on a Poisson manifold (Y,π) by Poisson isomorphisms, the T-leaves of π in Y are, by definition, the orbits of the symplectic leaves of π under T, and the leaf stabilizer of a T-leaf is the subspace of the Lie algebra of T that is everywhere tangent to all the symplectic leaves in the T-leaf. In this paper, we first develop a general theory on T-leaves and leaf stabilizers for a class of Poisson structures defined by Lie bialgebra actions and quasitriangular r-matrices. We then apply the general theory to four series of holomorphic Poisson structures on products of flag varieties and related spaces of a complex semi-simple Lie group G. We describe their T-leaf decompositions, where T is a maximal torus of G, in terms of (open) extended Richardson varieties and extended double Bruhat cells associated to conjugacy classes of G, and we compute their leaf stabilizers and the dimension of the symplectic leaves in each T -leaf.

研究の動機と目的

• アーベル群作用を伴うポアソン多様体における T-葉およびその安定化部分群を分析するための一般的枠組みを構築すること。
• 複素単純代数群 G の旗多様体および関連空間の積における4つのクラスの正則ポアソン構造の T-葉分解を記述すること。
• リー双代数および r-行列構造を用いて、各 T-葉内における葉安定化部分群とシンプレクティック葉次元を計算すること。
• T-葉と拡張リチャードソン多様体や拡張二重ブルガット胞体などの組合せ的対象との関係を確立すること。

提案手法

• リー双代数作用および準三角的 r-行列の理論を用いて、G 及びその商多様体上にポアソン構造を定義する。
• 4つの特定のポアソン構造 (F_n, π_n)、(F̃_n, Π_n)、(F̃_n, π̃_n)、(F̃_n, Π̃_n)（n ≥ 1）に対して一般枠組みを適用する。
• G 及びその同調空間の軌道分解を用いて、最大トーラス T 作用下でのシンプレクティック葉の和集合として T-葉を特定する。
• r-行列およびラグランジュ的分解から導かれる、カルタン部分代数上の写像 (wθ + 1) の像を用いて、葉安定化部分群を計算する。
• 安定化部分代数が対称な双線形形式に関してラグランジュ的であるという事実に依拠し、ポアソン構造と整合することを保証する。
• 安定化部分群の補空間から得られるベクトル場を用いて構成される、ポアソン T-パフィアンを用いて、各 T-葉における π の余ランクを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、旗多様体の積上のポアソン構造における T-葉分解を体系的に記述できるか？
• RQ2 このようなポアソン多様体における各 T-葉の葉安定化部分群の構造は何か？
• RQ3 各 T-葉内にあるシンプレクティック葉は、拡張リチャードソン多様体および二重ブルガット胞体とどのように関係するか？
• RQ4 各 T-葉内のシンプレクティック葉の次元は何か？ また、それは葉安定化部分群とどのように関係するか？
• RQ5 準三角的 r-行列構造は、これらの T-葉分解のポアソン幾何をどのように規定するか？

主な発見

• (G/B, π_G/B) における T-葉は、まさに開リチャードソン多様体であり、すなわち、ブルアート順序において w ≤ u のもとでの非空交わり (BuB/B) ∩ (B₋wB/B) に一致する。
• G 上の標準的ポアソン構造 π_st に対して、T-葉は二重ブルガット胞体 G^{u,v} = BuB ∩ B₋vB₋ であり、u,v ∈ W である。
• θ-作用によるねじれ共轭類の場合、T-葉は C ∩ (BwB₋) であり、C は θ-ねじれ共轭類、w ≤ m_C である。
• T-葉の葉安定化部分群は、カルタン部分代数上で写像 (wθ + 1) の像として与えられ、[36] で知られている結果と一致する。
• 各 T-葉内のシンプレクティック葉の次元は、ポアソン構造のランクから、葉安定化部分群がカルタン部分代数において占める余次元を引いたものに等しい。
• Iwasawa 分解によって定義される G 上のポアソン構造 π_G に対して、商空間 P_n 内のシンプレクティック葉は、カルタン部分群 A の n 個の元の n-重組み合わせでパラメトライズされ、固定された辺長 a ∈ A^n を持つ。