[論文レビュー] On the Topology of Metric Spaces definable in o-minimal expansions of fields

Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、順序体のo-極小拡張における定義可能距離空間について、位相的二分法を確立する：空間が無限個の離散的定義可能部分集合を含むか、あるいはユークリッド空間に定義可能に位相同相であるかのいずれかである。さらに、ほとんどすべての点がユークリッド空間の開部分集合に位相同相な近傍を持つことを示し、ユークリッド立方体からの定義可能連続写像による像を用いて、その空間の位相次元を特徴づける。

ABSTRACT

We study the topology of metric spaces which are definable in o-minimal expansions of ordered fields. We show that a definable metric space either contains an infinite definable discrete set or is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. This implies that a separable metric space which is definable in an o-minimal expansion of the real field is definably homeomorphic to a definable set equipped with its euclidean topology. We show that almost every point in a definable metric space has a neighborhood which is definably homeomorphic to an open definable subset of euclidean space.

研究の動機と目的

• 順序体のo-極小拡張における定義可能距離空間の位相的構造を理解すること。
• そのような空間が局所的にユークリッド空間に位相同相であるか、あるいは無限個の離散的定義可能部分集合を含むかを特定すること。
• ユークリッド立方体からの定義可能連続写像を用いて、定義可能距離空間の位相次元を特徴づけること。
• 実体上の定義可能距離空間の完備化が、自身も定義可能であることを示すこと。
• 定義可能距離空間の位相次元が、その基本となる集合のo-極小次元によって上から抑えられることを確立すること。

提案手法

• 無限個の離散的定義可能部分集合が存在するか、それとも空間がユークリッド空間に定義可能に位相同相であるかという定義可能二分法を用いる。
• o-極小開写像定理を適用して、ある種の定義可能写像の像がユークリッド位相において開であることを示す。
• 一様連続性と距離を減少させる写像を用いて、定義可能距離位相とユークリッド位相との関係を関係づける。
• o-極小次元に関する帰納法を用い、空間を低次元の定義可能集合で被覆することで、位相次元を分析する。
• 互いに交わらない和集合の位相次元が、その成分の次元の上限に等しいという事実を適用する。
• 像の消去を用いて商空間を定義可能集合として実現し、定義可能構造が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義可能距離空間がいつユークリッド空間に局所的に位相同相になるか。
• RQ2 定義可能距離空間がいつ無限個の離散的定義可能部分集合を含むか。
• RQ3 定義可能距離空間の位相次元がそのo-極小次元とどのように関係するか。
• RQ4 実体上の定義可能距離空間の完備化が、自身も定義可能であるか。
• RQ5 定義可能距離空間の位相次元が、ユークリッド立方体からの定義可能連続写像を用いて特徴づけられるか。

主な発見

• 定義可能距離空間は、無限個の定義可能離散部分集合を含むか、あるいはユークリッド空間の定義可能部分集合に定義可能に位相同相である。
• 定義可能距離空間のほとんどすべての点は、あるユークリッド空間の開部分集合に定義可能に位相同相な近傍を持つ。
• 実体上の定義可能距離空間の位相次元は、$[0,1]^m$ から空間への定義可能連続単射が存在するような最大の $ m $ に等しい。
• 定義可能距離空間の位相次元は、そのo-極小次元によって上から抑えられる。
• 実体のo-極小拡張における定義可能距離空間の完備化は、自身も定義可能である。
• すべての定義可能距離空間は、ほとんど至るところ局所的に定義可能コンパクトである。すなわち、ほとんどすべての点は、ユークリッド開集合に位相同相な近傍を持つ。