[論文レビュー] On the value-distribution of symmetric power L-functions

Kohji Matsumoto, Yumiko Umegaki|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正則尖型形式の対称べきL関数の値分布について、Bohr-Jessen枠組みを自動形式L関数へ拡張し、極限定理を確立する。log L(s, sym^k f) の垂直線における分布が、トーラス上の調和解析とSato-Tate等分布を用いて、連続な密度関数を持つ極限確率測度に収束することを証明する。

ABSTRACT

We first briefly survey the value-distribution theory of L-functions of the Bohr-Jessen flavor (or the theory of "M-functions"). Limit formulas for the Riemann zeta-function, Dirichlet L-functions, automorphic L-functions etc. are discussed. Then we prove new results on the value-distribution of symmetric power L-functions, which are limit formulas involving associated M-functions.

研究の動機と目的

• 正則尖型形式の対称べきL関数へBohr-Jessenの値分布理論を一般化すること。
• 臨界帯内の垂直線における log L(σ + it, sym^k f) の分布の極限公式を確立すること。
• 正規化された分布測度の弱収束として関連するM関数を構成すること。
• 極限密度関数が連続的であり、トーラス上の調和解析を用いて明示的に特徴付けられることを証明すること。
• Sato-Tate等分布を用いて、特定の三角不等式を満たす素数の集合が正の密度を持つことを示すこと。

提案手法

• Euler積による対数L関数の有限切断を構成することで、古典的Bohr-Jessen法を適応する。
• L関数の局所因子の偏角を用いて、N次元トーラス T^N 上の多変数写像 S_N を定義する。
• Fourier係数のSato-Tate等分布を用いて、角度 θ_f(p) mod 1 の分布を制御する。
• Jessen-Wintnerの不等式と平面曲線の和の幾何的解析を適用し、測度の収束を導出する。
• Weylの等分布基準と三角和の推定を用いて、|sin((γ+1)θ_f(p))| ≥ η を満たす集合の測度を分析する。
• Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylorによって証明されたSato-Tate予想と明示的な積分推定を組み合わせ、関連素数集合の正の密度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則尖型形式の対称べきL関数へBohr-Jessen極限定理を拡張することは可能か？
• RQ2 σ > 1/2 の垂直線における log L(σ + it, sym^k f) の極限分布は何か？
• RQ3 関連するM関数は正規化された分布測度の弱極限として存在するか？
• RQ4 対称べきL関数の極限密度関数の構造は何か？
• RQ5 Sato-Tate角度の等分布は、対称べきL関数の値分布にどのように影響するか？

主な発見

• 極限測度 W_σ(R; L) は存在し、矩形 R 上での連続的かつ非負の密度関数 F_σ(z; L) の積分に等しい。
• 極限密度関数 F_σ(z; L) はトーラス上の調和解析を用いて明示的に構成され、C 上で連続である。
• |sin((γ+1)θ_f(p))| ≥ η を満たす素数 p の集合は正の密度を持ち、具体的には漸近的密度 1 − 2ξ/π > 0 である。
• 集合 {p : θ_f(p) ∈ I_ℓ} の密度は 1 − 2ξ/π + O((log x)^{-1/8 + ε}) であり、奇数および偶数の γ に対して両方とも正の密度であることが確認される。
• log L(σ + it, sym^k f) の分布がM関数に弱収束することを、確率測度の弱収束を用いて確立する。
• 証明は、Fourier係数のSato-Tate等分布と三角和の推定を用いて、角度区間の測度を制御することに依拠する。