[論文レビュー] On Thermodynamics and Phase Space of Near Horizon Extremal Geometries

Kamal Hajian|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用数 14

ひとこと要約

本学位論文は、SL(2,R)×U(1)^n 等長性を有する極小ブラックホールの近視界極限として得られる近視界極小幾何（NHEG）の熱力学的法則および古典的位相空間構造を確立する。共変位相空間法を用いて、シンプレクティック構造と保存された電荷を導出し、それらが無限次元代数「NHEG代数」として構成される。この代数の中心的項はブラックホールのエントロピーに等しく、極小ブラックホールエントロピーの微視的統計的解釈を提供する。

ABSTRACT

Near Horizon Extremal Geometries (NHEG), are geometries which may appear in the near horizon region of the extremal black holes. These geometries have $SL(2,\mathbb{R})\! imes\!U(1)^n$ isometry, and constitute a family of solutions to the theory under consideration. In the first part of this report, their thermodynamic properties are reviewed, and their three universal laws are derived. In addition, at the end of the first part, the role of these laws in black hole thermodynamics is presented. In the second part of this thesis, we review building their classical phase space in the Einstein-Hilbert theory. The elements in the NHEG phase space manifold are built by appropriately chosen coordinate transformations of the original metric. These coordinate transformations are generated by some vector fields, dubbed "symplectic symmetry generators." To fully specify the phase space, we also need to identify the symplectic structure. In order to fix the symplectic structure, we use the formulation of Covariant Phase Space method. The symplectic structure has two parts, the Lee-Wald term and a boundary contribution. The latter is fixed requiring on-shell vanishing of the symplectic current, which guarantees the conservation and integrability of the symplectic structure, and leads to the new concept of "symplectic symmetry." Given the symplectic structure, we construct the corresponding conserved charges, the "symplectic symmetry generators." We also specify the explicit expression of the charges as a functional over the phase space. These symmetry generators constitute the "NHEG algebra," which is an infinite dimensional algebra (may be viewed as a generalized Virasoro), and admits a central extension which is equal to the black hole entropy.

研究の動機と目的

• 近視界極小幾何（NHEG）における熱力学の三つの普遍的法則を導出すること。これは、極小視界に一般化されたブラックホール熱力学を目的とする。
• 微分同相変換がシンプレクティック対称性生成子によって生成する、Einstein-Hilbert重力理論におけるNHEGの古典的位相空間を構築すること。
• オンシェル上でのシンプレクティックカレントの消滅を要請することで、保存性および可積分性を保証する。この条件のもとで、シンプレクティック構造を決定すること。
• 保存電荷をハミルトニアン生成子として特定し、それらがNHEG代数、すなわち中心拡張を伴う無限次元代数を形成することを示すこと。
• NHEG代数の中心的項が、対応する極小ブラックホールのBekenshtein-Hawkingエントロピーに正確に一致することを示すこと。

提案手法

• 共変位相空間法を用いて、NHEG位相空間のシンプレクティック構造を導出し、それをボリューム項（Lee-Wald項）と境界寄与項に分解する。
• オンシェル上でのシンプレクティックカレントの消滅を要請することで、境界寄与項を固定し、シンプレクティック構造の保存性および可積分性を保証する。
• シンプレクティック構造を保存する微分同相変換を生成するベクトル場として、シンプレクティック対称性生成子を定義し、「シンプレクティック対称性」の概念を導入する。
• これらの生成子に対応する位相空間上の汎関数として保存電荷を構成し、それらがポincare括弧に関してNHEG代数に閉じることを示す。
• NHEG代数を一般化されたVirasoro代数として特定し、中心拡張を明示的に計算し、ブラックホールエントロピーと一致することを確認する。
• 計量のパラメトリック変化を用いて、ハミルトニアン生成子と温度、化学ポテンシャルなどの熱力学変数との関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホール熱力学の三つの普遍的法則は、近視界極小幾何にどのように一般化されるか？
• RQ2 Einstein-Hilbert重力理論におけるNHEGの古典的位相空間の構造は何か？
• RQ3 NHEG位相空間のシンプレクティック構造はどのように決定され、オンシェル上でのシンプレクティックカレントの消滅が果たす役割は何か？
• RQ4 保存電荷（シンプレクティック対称性生成子）の代数的構造は何か？また、ブラックホールエントロピーとどのように関係するか？
• RQ5 NHEG代数の中心的項は、極小ブラックホールのBekenshtein-Hawkingエントロピーと同一視できるか？

主な発見

• 極小ブラックホール熱力学の三つの普遍的法則がNHEGに対して導出され、第三法則は極小性条件に対応する。
• NHEG位相空間のシンプレクティック構造は、ボリューム項（Lee-Wald項）と境界寄与項から成り、後者はオンシェル上でのシンプレクティックカレントの消滅を要請することで固定される。
• シンプレクティック対称性生成子に対応する保存電荷は、一般化されたVirasoro代数に同型な無限次元代数であるNHEG代数を形成する。
• NHEG代数の中心的項は明示的に計算され、対応する極小ブラックホールのBekenshtein-Hawkingエントロピーに等しいことが判明した。
• 極小ブラックホールのエントロピーは、位相空間におけるハミルトニアン生成子として実現され、その熱力学的意義が確認された。
• この構成により、NHEG代数を介した極小ブラックホールエントロピーの微視的統計的解釈が得られ、Kerr/CFT対応の枠組みを支持する。