[論文レビュー] On Two Conjectures about Permutation Trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$

Nian Li|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2016年にLi, Qu, Li, Fuが提起した、$ℝ_{3^{2k}}$ 上の置換三項式に関する2つの予想を解決する。具体的には、特定の5次および7次有理関数が、体内の$(3^k+1)$-乗単位根の集合を置換することを証明する。証明は、関連する多項式の二次因子を分析し、それらが単位群内で異なる解をもたないことを示すことに依拠しており、これにより与えられた条件下で置換性が確認される。

ABSTRACT

Permutation polynomials with few terms attracts researchers' interest in recent years due to their simple algebraic form and some additional extraordinary properties. In this paper, by analyzing the quadratic factors of a fifth-degree polynomial and a seventh-degree polynomial over the finite field $\mathbb{F}_{3^{2k}}$, two conjectures on permutation trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ proposed recently by Li, Qu, Li and Fu are settled, where $k$ is a positive integer.

研究の動機と目的

• 2016年にLi, Qu, Li, Fuが提起した、$ℝ_{3^{2k}}$ 上の置換三項式に関する2つの未解決予想を解決すること。
• 関連する有理関数が$(3^k+1)$-乗単位根の集合$\mu_{3^k+1}$ を置換することを確認することで、特定の三項式の置換性を確立すること。
• $ℝ_{3^{2k}}$ 上の特定の5次および7次方程式が、$\mu_{3^k+1}$ 内に1つより多くの解をもたないことを証明すること。これは置換挙動を確認する上で不可欠である。
• 有限体上の高次多項式の二次因子の構造を分析し、単位群$\mu_{3^k+1}$ 内に複数の解が存在しないことを排除すること。

提案手法

• 補題1を適用して、置換問題を、$ℝ_{3^{2k}}$ 内の$(3^k+1)$-乗単位根の集合$\mu_{3^k+1}$ を置換する有理関数の性質を確認することに還元する。
• 関連する有理関数の分子および分母の二次因子を分析し、可能な解構造を特定する。
• 体論的技法を用い、$\mu_{3^k+1}$ の元に対して$a^q b = a$ が成り立つ条件を用いて、二次因子の根の可能性を制限する。
• 代数的操作により、$\theta^3 - \theta - 1 = 0$ を満たす変数$\theta$ を含む三次方程式を導出し、$ℝ_{3^{2k}}$ 内での可解性を分析する。
• $x^3 - x - 1$ が$ℝ_3$ 上で既約であり、$k \equiv 0 \pmod{3}$ のときのみ$ℝ_{3^{2k}}$ 内に根をもつことを利用して、解の可能性を制限する。
• 2つの異なる解が存在すると仮定すると、特に$k \not\equiv 0 \pmod{3}$ または$k \equiv 0 \pmod{3}$ の場合に、トレース恒等式および単位根の位数に関する矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数$k$ に対して、有理関数$g(x) = \frac{-x^7 + x^6 + x}{x^6 + x - 1}$ は集合$\mu_{3^k+1}$ を置換するか？
• RQ2 すべての$k$ に対して、有理関数$g(x) = \frac{x^6 + x^4 - 1}{-x^7 + x^3 + x}$ は$\mu_{3^k+1}$ を置換するか？
• RQ3 $(k \not\equiv 2 \pmod{4})$ のとき、有理関数$g(x) = \frac{-x^5 + x^3 + x}{x^4 + x^2 - 1}$ は$\mu_{3^k+1}$ を置換するか？
• RQ4 任意の$t \in \mu_{3^k+1}$ に対して、方程式$x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$ が$\mu_{3^k+1}$ 内に1つより多くの解をもつ可能性はあるか？
• RQ5 立方方程式$\theta^3 - \theta - 1 = 0$ が$ℝ_{3^{2k}}$ 内に解をもつ条件は何か？ そして、その解の存在は置換方程式の解構造にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の$t \in \mu_{3^k+1}$ に対して、方程式$x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$ は$\mu_{3^k+1}$ 内に1つより多くの解をもたない。これは、予想2(2)の確認を示している。
• $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ のとき、立方方程式$\theta^3 - \theta - 1 = 0$ は$ℝ_{3^{2k}}$ 内に解をもたない。これにより、特定の解構造が除外され、解の一意性が支持される。
• $k \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$\theta \in \mathbb{F}_{3^3} \subseteq \mathbb{F}_{3^k}$ であり、$\theta^{(3^k - 1)/2} = 1$ が成り立つ。このとき、$\mu_{3^k+1}$ 内に2つの異なる解が存在すると仮定すると矛盾が生じるため、一意性が証明される。
• 関連多項式の二次因子$x^2 + a x + b$ に対して、$a^q b = a$ という条件を用いて、可能な根を制限し、$\mu_{3^k+1}$ 内に複数の解が存在しないことを排除する。
• 2つの異なる解が存在すると仮定すると、$\sqrt{\theta} + \sqrt{\theta}^q = 0$ が導かれるが、これは$\theta^{(q-1)/2} = 1$ と矛盾する。これにより、一意性が証明される。
• 予想2(1)は未解決のままだが、予想2(2)の解決に用いた手法は、その解決への道筋を示しており、類似した代数的制約が適用可能であると考えられる。