[論文レビュー] Online Convex Covering and Packing Problems

T-H. Hubert Chan, Zhiyi Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の凸コスト関数を用いたリソース割り当て問題のための統一的オンライン凸被覆および被包 framework を提案し、オンライン主双対技法を用いて単純なアルゴリズムを設計する。多項式コスト関数が次数 τ である場合、凸被覆に対して O(τ log n)^τ-competitive ratio を達成し、凸被包に対しては O(τ)-competitive ratio を達成する。これは既知の下界と一致する。

ABSTRACT

We study the online convex covering problem and online convex packing problem. The (offline) convex covering problem is modeled by the following convex program: $\min_{x \in R_+^n} f(x) \ ext{s.t}\ A x \ge 1$, where $f : R_+^n \mapsto R_+$ is a monotone and convex cost function, and $A$ is an $m imes n$ matrix with non-negative entries. Each row of the constraint matrix $A$ corresponds to a covering constraint. In the online problem, each row of $A$ comes online and the algorithm must maintain a feasible assignment $x$ and may only increase $x$ over time. The (offline) convex packing problem is modeled by the following convex program: $\max_{y\in R_+^m} \sum_{j = 1}^m y_j - g(A^T y)$, where $g : R_+^n \mapsto R_+$ is a monotone and convex cost function. It is the Fenchel dual program of convex covering when $g$ is the convex conjugate of $f$. In the online problem, each variable $y_j$ arrives online and the algorithm must decide the value of $y_j$ on its arrival. We propose simple online algorithms for both problems using the online primal dual technique, and obtain nearly optimal competitive ratios for both problems for the important special case of polynomial cost functions. For any convex polynomial cost functions with non-negative coefficients and maximum degree $τ$, we introduce an $O(τ\log n)^τ$-competitive online convex covering algorithm, and an $O(τ)$-competitive online convex packing algorithm, matching the known $Ω(τ\log n)^τ$ and $Ω(τ)$ lower bounds respectively. There is a large family of online resource allocation problems that can be modeled under this online convex covering and packing framework, including online covering and packing problems (with linear objectives), online mixed covering and packing, and online combinatorial auction. Our framework allows us to study these problems using a unified approach.

研究の動機と目的

• 線形または段階的コストモデルにとどまらない、一般の凸コスト関数を用いたオンラインリソース割り当てのギャップを埋める。
• 混合被覆および被包、オンライン施設配置、組合せオークションなどの多様なオンライン問題を、単一の凸計画フレームワークに統合する。
• 凸被覆および被包のための単純で効率的なオンラインアルゴリズムを設計し、近似的に最良の競争比を保証する。
• 多項式コスト関数が、オンライン最適化における有界な競争比の最悪ケースであり、実用的にも関連性があることを示す。

提案手法

• 単調で凸なコスト関数と、オンラインで到着する制約を備えた凸計画問題のオンライン版として、オンライン凸被覆および被包を定式化する。
• オンライン主双対技法を適用し、到着する制約や変数に応じて変数（被覆のための x_i、被包のための y_j）を動的に調整するアルゴリズムを設計する。
• 連続時間の勾配に基づく更新ルールを用い、双対変数と滑らかさパラメータ ρ で定義される経路に沿って変数を増加させる。
• 経路積分を用いた時間変動型の双対変数更新を導入し、双対目的関数の増加を保証するとともに、妥当性を維持する。
• 双対成長とプライマル妥当性のトレードオフを制御するため、誤差項 ε を慎重に選択し、最初の入力に基づいて ε を動的に設定する。
• Fenchel双対性および凸共役の性質を活用し、プライマルと双対目的関数の関係を確立することで、競争比の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の凸コスト関数（線形や固定コストモデルにとどまらない）を用いたオンラインリソース割り当て問題に対して、統一的フレームワークを構築できるか？
• RQ2 コスト関数が次数 τ の同次多項式である場合、オンライン凸被覆および被包の競争比はどの程度達成できるか？
• RQ3 オンライン設定における最悪ケースの競争比について、多項式コスト関数は他の凸関数と比べてどのように異なるか？
• RQ4 オンライン主双対法を、凸コスト関数を扱えるように適応させることで、近似的に最良の性能を維持できるか？
• RQ5 既存の混合被覆および被包問題を、凸コスト関数を用いた純粋な凸被覆問題に再モデル化することで、より良い競争比を達成できるか？

主な発見

• 同次多項式コスト関数（次数 τ、非負の係数）を用いたオンライン凸被覆に対して、提案アルゴリズムは O(τ log n)^τ-competitive ratio を達成する。
• 同じクラスのコスト関数を用いたオンライン凸被包に対しても、アルゴリズムは O(τ)-competitive ratio を達成し、既知の Ω(τ) 下界と一致する。
• 凸被覆の競争比は、下界が Ω(τ log n)^τ であるため、対数要因を除いてタイトである。
• このフレームワークにより、混合被覆および被包問題（例：Azar et al. [4]）を純粋な凸被覆問題に再モデル化でき、より単純なアルゴリズムと改善された競争比が得られる。
• アルゴリズムは加法的誤差項 εR を維持しており、その値は双対関数値の 1/10 未満に抑えられるため、誤差の影響を受けても競争比が O(τ) のままである。
• 解析により、競争比が変数や制約の数に依存せず、多項式の最大次数 τ のみに依存することが示され、大規模問題へのスケーラビリティが保証される。