[論文レビュー] Open Systems: A Double Categorical Perspective

Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Petri Nets in System Modeling参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、入力と出力を持つオープンシステムをモデル化するための二重圏的枠組みを導入し、Fongの装備付きコスパンよりも柔軟な代替手段を提供する。構造的コスパンと、対称モノイダル二重圏における新しい装備付きコスパンの定式化により、特定の条件下でこれら二つのアプローチが同値であることを確立し、電気回路、マコフ過程、ペトリネットのモデリングにおける統一的で合成的な基礎を提供する。

ABSTRACT

Fong developed `decorated cospans' to model various kinds of open systems: that is, systems with inputs and outputs. In this framework, open systems are seen as the morphisms of a category and can be composed as such, allowing larger open systems to be built up from smaller ones. Much work has already been done in this direction, but there is a problem: the notion of isomorphism between decorated cospans is often too restrictive. Here we introduce and compare two ways around this problem: structured cospans, and a new version of decorated cospans. Structured cospans are very simple: given a functor $L \colon \mathsf{A} o \mathsf{X}$, a `structured cospan' is a diagram in $\mathsf{X}$ of the form $L(a) ightarrow x \leftarrow L(b)$. If $\mathsf{A}$ and $\mathsf{X}$ have finite colimits and $L$ is a left adjoint, there is a symmetric monoidal category whose objects are those of $\mathsf{A}$ and whose morphisms are isomorphism classes of structured cospans. However, this category arises from a more fundamental structure: a symmetric monoidal double category. Under certain conditions this symmetric monoidal double category is equivalent to one built using our new version of decorated cospans. We apply these ideas to symmetric monoidal double categories of open electrical circuits, open Markov processes and open Petri nets.

研究の動機と目的

• Fongの装備付きコスパンにおける同型類が、オープンシステムのモデリングにあまりに制限的であるという限界を解消すること。
• 対称モノイダル二重圏における構造的コスパンを用いた、より柔軟で基礎的な枠組みを構築すること。
• 適切な条件下で、構造的コスパンと同値な対称モノイダル二重圏をなす新しい装備付きコスパンのバージョンを導入すること。
• 電気回路、マコフ過程、ペトリネットなど、多様な分野におけるオープンシステムの合成的モデリングを統一・一般化すること。
• 二重圏論を用いて、構造的コスパンと新しい装備付きコスパンの間の形式的同値性を確立し、モジュラリティと合成性を高めること。

提案手法

• L: A → X を関手（通常は左随伴）とするとき、L(a) → x ← L(b) の形の図式として構造的コスパンを定義する。
• A と X が有限余極限を備え、L が左随伴であるとき、構造的コスパンの対称モノイダル二重圏を構成する。
• 1-セルが装備付きコスパンで、2-セルが整合性のある変換であるような二重圏を定義することで、新しい装備付きコスパンのバージョンを導入する。
• 水平および垂直合成と整合性条件を定義することで、装備付きコスパンに二重圏構造を確立する。
• フットリプレースメント技術を用いて、構造的コスパンの二重圏と装備付きコスパンの二重圏との関係を確立し、条件を満たすと比較と同値性が可能になる。
• 具体的なシステム（電気回路、オープンマコフ過程、ペトリネット）にこの枠組みを適用し、二重圏による合成的モデリングを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的コスパンを、Fongの装備付きコスパンの同型類よりもより基礎的な枠組みとして、対称モノイダル二重圏としてどのように定式化できるか？
• RQ2 新しいバージョンの装備付きコスパンの二重圏が、構造的コスパンの二重圏と同値であるための条件は何か？
• RQ3 二重圏的構造は、電気回路やペトリネットのようなオープンシステムのモデリングにおける合成性とモジュラリティをどのように向上させるか？
• RQ4 この枠組みは、マコフ過程やペトリネットを含む、異なる種類のオープンシステムに対して一貫したカテゴリカルな道具具を用いて一様に適用可能か？
• RQ5 フットリプレースメントは、構造的コスパンと装備付きコスパンの二重圏の構築と比較において、果たす役割は何か？

主な発見

• 有限余極限を備えた A と X および左随伴関手 L: A → X から、構造的コスパンの対称モノイダル二重圏が構成される。
• Fongの元々の枠組みにおける同型類よりも柔軟な代替手段を提供する、新しい装備付きコスパンのバージョンが対称モノイダル二重圏として定義される。
• 適切な条件下で、構造的コスパンの二重圏と新しい装備付きコスパンの二重圏は同値であり、二つのアプローチの正式な統合が確立される。
• この枠組みは、オープン電気回路、オープンマコフ過程、オープンペトリネットを対称モノイダル二重圏として成功裏にモデリングし、合成的推論を可能にする。
• 二重圏的構造により、水平および垂直の合成が可能となり、一貫性を持つ2-準同型がシステム変換を捉える。
• フットリプレースド二重圏の使用により、異なるオープンシステムのカテゴリカルモデル間の体系的比較と変換が可能になり、モジュラリティと再利用性が向上する。