[論文レビュー] Operads, tensor products, and the categorical Borel construction

Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用ホモトピー的構成を圏論的Borel構成として定式化し、作用ホモトピー的構成をCat上の2-モノイドに埋め込むものであり、テンソル積の冪における群作用を通じてモノイダル構造を特徴づける。$Λ$-マルチカテゴリはKleisli双圏におけるモノイドとして現れ、コブラダリー双圏は$n$-果実カクタス群ホモトピー的構成と正確に対応する。

ABSTRACT

We show that every action operad gives rise to a notion of monoidal category via the categorical version of the Borel construction, embedding action operads into the category of 2-monads on $\mathbf{Cat}$. We characterize those 2-monads in the image of this embedding, and as an example show that the theory of coboundary categories corresponds precisely to the operad of $n$-fruit cactus groups. We finally define $\mathbfΛ$-multicategories for an action operad $\mathbfΛ$, and show that they arise as monads in a Kleisli bicategory.

研究の動機と目的

• 群作用の古典的Borel構成の圏論的類似を形式化し、作用ホモトピー的構成へと拡張すること。
• Cat上の2-モノイドへの作用ホモトピー的構成の埋め込みの像を特徴づけ、構造化されたモノイダル圏を符号化するモノイドを同定すること。
• $Λ$-マルチカテゴリを作用ホモトピー的構成$Λ$に対して定義し、Kleisli双圏におけるモノイドの起源を示すこと。
• コブラダリー双圏が正確に$n$-果実カクタス群ホモトピー的構成に対応することを示すことにより、表現論的構造とホモトピー的構造を統合すること。

提案手法

• 群$G$のための移動圏$EX$と分類圏$BG$を用いて圏論的Borel構成を定義する。
• 自然な同型分離射$p: EUG \Rightarrow BG$を用い、Catにおける普遍バンドルをモデル化し、モノイド構成の基盤を築く。
• ブロックの和とブロックの置換の2つの作用を用いて作用ホモトピー的構成を特徴づけ、対称群作用を一般化する。
• 圏論的Borel構成を用いて作用ホモトピー的構成をCat上の2-モノイドに埋め込み、その像が$n$重テンソル積に$Λ(n)$作用をもつモノイドからなることを示す。
• 自由$Λ$-ホモトピー的構成のKleisli双圏におけるモノイドの代数として$Λ$-マルチカテゴリを構成する。
• 局所的コンパクト性と自然変換の成分ごとの解析を用いて、$Λ$-マルチカテゴリと$Λ$のKleisli双圏におけるモノイドの間の双同値を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群作用を持つホモトピー的構成、すなわち作用ホモトピー的構成に対して、古典的Borel構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 作用ホモトピー的構成に圏論的Borel構成を適用した際に得られるCat上の2-モノイドはどのようなものであり、どのように特徴づけられるか？
• RQ3 $Λ$-マルチカテゴリの背後にある圏論的構造は何か？ また、Kleisli双圏におけるモノイドとどのように関係するか？
• RQ4 コブラダリー双圏は特定の作用ホモトピー的構成に対応するか？ もしそうなら、どのホモトピー的構成か？
• RQ5 自由作用ホモトピー的構成は生成子と関係式から構成可能か？ また、これはクラブ理論とどのように関係するか？

主な発見

• 圏論的Borel構成は、作用ホモトピー的構成をCat上の2-モノイドの2-圏に完全に忠実に埋め込み、その像はテンソル積の冪に$Λ(n)$作用をもつモノイドからなる。
• コブラダリー双圏の理論は、$n$-果実カクタス群ホモトピー的構成によって正確に記述され、表現論的構造とホモトピー的構造の間の直接的な関係を確立する。
• $Λ$-マルチカテゴリの双圏は、自由$Λ$-ホモトピー的構成のKleisli双圏における離散圏上のモノイドの双圏と双同値である。
• Kleisli双圏におけるlaxモノイド写像は、正確に$Λ$-マルチファンクターに対応し、2-セルは基礎となる集合上の関数の一致によって一意に定まる。
• モノイド双圏のホム圏は本質的に離散的であり、2-セルは一意的か存在しないかのいずれかであるため、射の制御が厳密に保証される。
• $Λ$-ホモトピー的構成の圏は、Kleisli双圏における終単位集合上のモノイドの双圏と同値であり、$Λ$-ホモトピー的構成がモノイド的であることを確認する。