[論文レビュー] Operations on derived moduli spaces of branes

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、ブラインの導来モジュライ空間——空間 $ S $ から導来代数的スタック $ X $ への写像——が、$ S $ 上のコパンを用いて自然な作用を備えていることを確立する。この作用は $ \infty $-オペラッドを用いて形式化される。主な結果は、導来圏 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ に自然な $ \mathcal{O} $-作用が存在し、これが高次フォーマリティ予想の証明および、$ E_2 $-構造を通じて多様体の多様体場と反復 Hochschild コホモロジーを関連付ける Kapustin の予想に対する肯定的解答をもたらす。

ABSTRACT

The main theme of this work is the study of the operations that naturally exist on moduli spaces of maps $Map(S,X)$, also called the space of branes of $X$ with respect $S$. These operations will be constructed as operations on the (quasi-coherent) derived category $\D(Map(S,X))$, in the particular case where $S$ has some close relations with an operad $\OO$. More precisely, for an $\s$-operad $\OO$ and an algebraic variety $X$ (or more generally a derived algebraic stack), satisfying some natural conditions, we prove that $\OO$ acts on the object $\OO(2)$ by mean cospans. This universal action is used to prove that $\OO$ acts on the derived category of the space of maps $Map(\OO(2),X)$, which will call the brane operations. We apply the existence of these operations, as well as their naturality in $\OO$, in order to propose a sketch for a proof of the \emph{higher formality conjecture}, a far reaching extension of Konstevich's formality's theorem. By doing so we present a positive answer to a conjecture of Kapustin (see \cite[p. 14]{kap}), relating polyvector fields on a variety $X$ and deformations of the mono/"i dal derived category $\D(X)$.

研究の動機と目的

• ドメイン $ S $ の自己同型に依存しない、モジュライ空間 $ \mathrm{Map}(S,X) $ の導来圏における自然な作用を、$ S $ 上のコパンを用いて形式化すること。
• 特に $ \infty $-オペラッドを介して、単純な入力データから $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 上の興味深い作用を体系的に生成する方法を構築すること。
• 得られた枠組みを用いて、高次フォーマリティ予想を証明し、Konstevich のフォーマリティ定理を高次元に拡張すること。
• $ E_2 $-構造を通じて、$ X $ 上のシフトされた多様体場とモノイダル導来圏の変形理論を関連付ける Kapustin の予想に肯定的解答を与えること。

提案手法

• $ \infty $-オペラッドと導来代数的幾何を用いて、$ S $ 上のコパンを介して、$ \infty $-オペラッド $ \mathcal{O} $ が $ \mathcal{O}(2) $ に普遍的な作用を定義する。
• $ \mathcal{O} $ が導来圏 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ に自然な作用（ブライン作用）をもつことを構成する。
• $ E_k $-オペラッドのフォーマリティを適用し、$ \mathbb{P}_k $-代数と $ E_k^u $-代数を関連付け、$ HH^{\mathbb{P}_k}(X) $ と $ HH^{E_k^u}(X) $ の間に同値を誘導する。
• dg-リー代数における $ E_1 $-代数の分類空間関手 $ B $ を用いて、Hochschild コホモロジーとリー代数構造を関連付け、dg-リー代数の同値を確立する。
• セガール条件と $ \infty $-圏的随伴 $ B $ と $ \Omega $ を活用し、$ B $ が $ E_1(\mathbf{dgl}) $ 上で同値であることを証明し、Hochschild コホモロジーと多様体場の同定を可能にする。
• $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $ の同値を適用し、シフトされた多様体場とシフトされた反復 Hochschild コホモロジーの間の dg-リー代数の同値を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドメイン $ S $ の自己同型に依存しない、ブラインの導来モジュライ空間上の作用をどのように形式化できるか？
• RQ2 $ S $ 上のコパンが、$ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(S,X)) $ 上の自然な自己函手を生成する役割を果たすのはどのようなものか？
• RQ3 $ S $ 上のコパンに内在する $ \infty $-オペラッド構造を、$ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ 上の普遍的作用の構成に用いることができるか？
• RQ4 このような作用の存在が、多様体場と反復 Hochschild コホモロジーを関連付ける高次フォーマリティ定理を示唆するか？
• RQ5 $ HH^{E_2}(X) $ に内在する $ E_2 $-構造が、シフトされた多様体場のシューシュタイン括弧と同値な自然な dg-リー代数構造を誘導するか。Kapustin の予想を確認できるか？

主な発見

• 導来圏 $ \mathcal{D}(\mathrm{Map}(\mathcal{O}(2),X)) $ は、$ \mathcal{O}(2) $ 上のコパンを介して、$ \infty $-オペラッド $ \mathcal{O} $ の自然な作用を備える。
• $ k > 1 $ のとき、同値 $ \alpha: \mathbb{P}_k \simeq E_k^u $ の選択により、自然な dg-リー代数の同値 $ \mathbb{R}\Gamma(X,\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{T}_X[-k]))[k] \simeq HH^{E_k}(X)[k] $ が誘導される。
• $ HH^{E_2}(X) $ に内在する $ E_2 $-構造は、$ HH^{E_2}(X)[1] $ 上に dg-リー代数構造を誘導し、これは多様体場上のシューシュタイン括弧と同値である。
• $ E_1(\mathbf{dgl}) $ における分類空間関手 $ B: E_1(\mathbf{dgl}) \to \mathbf{dgl} $ は、$ \infty $-圏の同値である。これにより、$ E_1 $-代数とその基になる dg-リー代数との同定が可能になる。
• $ \alpha^* $ は dg-リー代数への忘却関手を保存するため、Hochschild コホモロジー上の $ \mathbb{P}_k $-および $ E_k^u $-代数構造の整合性が保証される。
• 結果として、Kapustin の予想が確認される：滑らかな代数多様体 $ X $ に対して、シフトされた Hochschild コホモロジー $ HH^{E_2}(X)[1] $ は、シューシュタイン括弧を備えたシフトされた多様体場の複体と quasi-isomorphic である。