[論文レビュー] Optimal distributed control of a nonlocal Cahn-Hilliard/Navier-Stokes system in 2D

Sergio Frigeri, Elisabetta Rocca+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Solidification and crystal growth phenomenaMaterials Science参考文献 22被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、非局所的 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 系の2次元モデルについて、最適分散制御の存在を確立し、1次必要最適性条件を導出する。この系は、非可縮性で不混和な流体における相分離を、非局所的相互作用を伴ってモデル化する。解析は最近得られた適切な解の存在結果に裏打ちされ、随伴系と変分不等式を用いて、射影公式により最適制御を特徴付ける。

ABSTRACT

We study a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids coupling the Navier--Stokes system with a convective nonlocal Cahn--Hilliard equation in two dimensions of space. We apply recently proved well-posedness and regularity results in order to establish existence of optimal controls as well as first-order necessary optimality conditions for an associated optimal control problem in which a distributed control is applied to the fluid flow.

研究の動機と目的

• 非局所的 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 系の2次元における最適分散制御の存在を確立すること。
• 流体の速度および相変数を含む分散制御問題の1次必要最適性条件を導出すること。
• 畳み込み型相互作用を有する非局所モデルへの最適制御解析を拡張し、長距離分子力が関与する相分離に対して物理的に妥当なモデルを扱うこと。
• 非局所 Cahn–Hilliard 方程式を有する拡散界面モデルの最適制御のための厳密な解析的枠組みを提供すること。
• 時間離散化に依存する既存の研究とは異なり、時間離散化を行わず、完全に連続的な解析を提供することで、文献における空白を埋めること。

提案手法

• 本研究では、有界な2次元領域におけるナビエ–ストークス方程式と対流的で非局所的な Cahn–Hilliard 方程式を結合した非局所的 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 系を採用する。
• 制御は、流体速度場に作用する分散力 $\boldsymbol{v}$ として適用される。
• 解析は、状態系の最近得られた適切な解の存在および正則性結果に依拠しており、強い解の存在と一意性を保証する。
• 随伴系は、形式的ラグランジュ法を用いて導出され、速度および相変数に対してそれぞれ双対変数 $\boldsymbol{p}$ と $q$ を含む。
• 変分不等式を用いて最適制御を特徴付け、適切な関数空間における弱形式と境界条件の取り扱いを慎重に行い、$L^2(Q)^2$ 上の射影公式を導出する。
• 積分による部分積分、カーネル $K$ の対称性、および適切な関数空間における弱形式の取り扱いを含む、精密な計算が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 系（$\boldsymbol{\nu}$-依存粘性係数を有する）の2次元モデルに対して、最適分散制御が存在するか？
• RQ2 この最適制御問題の1次必要最適性条件は何か？
• RQ3 最適制御は、随伴状態および制御制約を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ4 Cahn–Hilliard 方程式の非局所的性質を、時間離散化を行わず、厳密に最適制御枠組みに組み込むことは可能か？
• RQ5 最適制御は、許容制御集合への射影公式によって特徴付けられるか？この特徴付けは、数値実装にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、非局所的 Cahn–Hilliard/Navier–Stokes 系の2次元モデルに対して、最適制御が許容集合 $\boldsymbol{v} \to \boldsymbol{v} \text{ in } L^2(Q)^2$ 内に少なくとも1つ存在することを証明する。
• 1次必要最適性条件は、随伴状態 $\boldsymbol{p}$ と制御差 $\boldsymbol{v} - \boldsymbol{\bar{v}}$ を含む変分不等式の形で導出される。
• 最適制御 $\boldsymbol{\bar{v}}$ は、射影公式 $\boldsymbol{\bar{v}} = \text{Proj}_{\boldsymbol{\nu}_{ad}}\big(-\frac{1}{\beta}\boldsymbol{p}\big)$ で特徴付けられる。ここで $\beta$ は正のパラメータである。
• $\beta > 0$ の場合、最適制御は点ごとの射影条件を満たす：$\bar{v}_i(x,t) = \text{max}\big\brace{v_{a,i}(x,t), \text{min}\big\brace{-\beta^{-1}p_i(x,t), v_{b,i}(x,t)}\big\brace\big\brace$ ほぼ everywhere in $Q$。
• 非局所項 $K * \rho$ は、カーネル $K$ の対称性により、随伴導出において対称的な部分積分が可能となり、厳密に取り扱える。
• 結果は、正則な二重井戸型ポテンシャル $F$ に対して有効であり、粘性係数 $\nu(\rho)$ が相変数 $\rho$ に依存してもよいことから、物理的妥当性が向上する。