[論文レビュー] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems with applications to the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を含む、散逸的無限次元系における時間平均およびアンサンブル平均の最適な境界を導出するミニマックス最適化フレームワークを提示する。位相空間上での双対性に基づく最適化と、位相空間上に定義された円柱型試験汎関数の族を用いることで、系の解を明示的に知らなくても、系の法則にのみ依存して鋭い境界が得られる。

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of a modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems, including the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

研究の動機と目的

• 散逸的無限次元力学系、特に複雑またはカオス的挙動を示す系における時間平均およびアンサンブル平均の鋭い最適境界を導出すること。
• Tobasco, Goluskin, Doering (2017) が以前に確立した有限次元ミニマックス境界を、2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を含む無限次元設定に拡張すること。
• 解の軌道や詳細な力学的情報を得る必要がなく、系の法則のみに依存して動作する手法を開発すること。
• エネルギー散逸と複雑な力学を示す系における観測量の長期平均をバウンディングするための厳密な変分的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 目的関数を位相空間の部分集合上で最大化し、位相空間上に定義された円柱型試験汎関数の族上で最小化するミニマックス最適化問題を定式化する。
• 位相空間上に定義された円柱型試験汎関数から構成される補助関数を導入し、その微分が系の法則と双対積によって結合されるようにする。
• 関心のある観測量と、系の法則と補助関数の微分との双対積の和を最適化する。
• 基礎方程式を解くのではなく、系の不変測度（法則）の構造に依存することで、軌道計算を必要とせずに境界を導出可能である。
• 適切な関数解析的設定下で、特に2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を含む散逸的系にこのフレームワークを適用する。
• 最適境界が、無限次元設定における特定のハミルトニアン＝ヤコビ＝ベルマン型方程式を満たす補助関数が成立するときに達成されることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式を含む散逸的無限次元系における観測量の時間平均またはアンサンブル平均に対する、最もきつい境界は何か？
• RQ2 有限次元系から無限次元系へとミニマックス最適化フレームワークを拡張可能か？ その際、最適性と双対性構造を保ったままか？
• RQ3 解の明示的知識がなく、系の不変測度（法則）のみに依存して、どの程度鋭い境界を導出可能か？
• RQ4 軌道レベルの情報が欠如している状況で、系の法則と補助試験汎関数の双対性がどのように最適境界をもたらすか？
• RQ5 円柱型試験汎関数は、無限次元位相空間における最適境界の構築において、果たす役割は何か？

主な発見

• 時間平均またはアンサンブル平均の最適境界は、位相空間の部分集合上で最大化し、円柱型試験汎関数の族上で最小化するミニマックス定式化によって達成される。
• この手法は、解のデータを明示的に必要とせず、系の不変測度（法則）にのみ依存して鋭い境界を提供する。
• Tobasco, Goluskin, Doering (2017) が有限次元系で確立したミニマックス結果を、2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を含む無限次元系へ一般化する。
• 最適境界は、系の法則と補助関数の微分との双対積によって特徴づけられ、目的関数に埋め込まれる。
• 任意の適切に定義された不変測度を持つ散逸的無限次元系に適用可能であり、長期平均挙動を推定する体系的な手法を提供する。
• 得られる境界は、同じクラスの試験汎関数と系の情報に基づく限り、より鋭い境界が得られないという意味で最適である。