[論文レビュー] Orbifold quantum cohomology of the symmetric product of A_r

Wan Keng Cheong|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ の等変オルビフォールド量子コホモロジーを計算し、除数作用素が1部の二重ヒルベルト数によって決定されることを示している。非退化性予想のもとで、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ の量子コホモロジーと $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ の間で完全な同型が確立され、クレパント解消予想が確認され、$\mathcal{A}_r \times \mathbb{P}^1$ の相対グロモフ＝ウィッテン理論とも四面体的同値関係を完成させる。主な結果は、組合せ的ヒルベルト数を用いた3点拡張グロモフ＝ウィッテンインバリアントの明示的・閉形式表現である。

ABSTRACT

Let A_r be the minimal resolution of the cyclic quotient singularity C^2/Z_{r+1}. We study the equivariant quantum cohomology ring of the n-fold symmetric product stack [Sym^n(A_r)] of A_r. We calculate the operators of quantum multiplication by divisor classes. Under the assumption of the nonderogatory conjecture, these operators completely determine the ring structure, which provides an affirmative answer to the Crepant Resolution Conjecture on [Sym^n(A_r)] and Hilb^n(A_r). More strikingly, this allows us to complete a tetrahedron of equivalences relating the Gromov-Witten theories of [Sym^n(A_r)]/Hilb^n(A_r) and the relative Gromov-Witten/Donaldson-Thomas theories of A_r x P^1.

研究の動機と目的

• $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$、つまり $A_r$ 表面特異点の最小解消の対称積スタックの等変オルビフォールド量子コホモロジー環を計算すること。
• 非退化性予想のもとで、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ の量子コホモロジーと $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$、すなわち $\mathcal{A}_r$ 上の $n$ 点のヒルベルトスキームの間の正確な同型を確立すること。
• グロモフ＝ウィッテン理論の $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$、$\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$、および $\mathcal{A}_r \times \mathbb{P}^1$ の相対グロモフ＝ウィッテン／ドナルドソン＝トーマス理論を結ぶ四面体的同値関係を完成させること。

提案手法

• 2点拡張グロモフ＝ウィッテンインバリアントの計算に、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ へのねじれ安定写像のモジュライ空間における局在化技術を用いる。
• 仮想局在化と固定点寄与を介して、有理曲線への分岐被覆の数え上げに、除数クラスによる量子乗法の計算を還元する。
• 1部の二重ヒルベルト数——Goulden-Jackson-Vakilの公式により明示的に計算可能——を、量子積構造を符号化する主要な組合せ的不変量として用いる。
• 非退化性予想を適用して、除数作用素がオルビフォールド量子積を完全に決定することを保証する。
• 等変チエン＝ルアンコホモロジー $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ と $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ のコホモロジーの間の線形同型 $L$ を構成し、次数、ペアリング、除数による量子積を保存する。
• 拡張グロモフ＝ウィッテンインバリアントにおける再帰的WDVV型関係を用いて、同型 $L$ がすべての多点関数を保存することを証明し、クレパント解消予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルビフォールド量子コホモロジー $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ は、組合せ的不変量を用いて完全に計算可能か？
• RQ2 クレパント解消予想は、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ と $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ の間で成り立ち、量子積構造が線形同型のもとで保存されるか？
• RQ3 グロモフ＝ウィッテン理論の $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$、ヒルベルトスキーム $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$、および $\mathcal{A}_r \times \mathbb{P}^1$ の相対グロモフ＝ウィッテン理論の間には完全な同値関係が存在するか？
• RQ4 $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ の2点拡張インバリアントは、ヒルベルト数のような既知の組合せ的対象で表現可能か？
• RQ5 変数変換 $q = -e^{iu}$ は、$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ と $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ の量子コホモロジーの間で、量子積とペアリングを保存する自然な同型を誘導するか？

主な発見

• 2点拡張グロモフ＝ウィッテンインバリアント $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ は、等変オルビフォールドペアリングと1部の二重ヒルベルト数によって完全に決定され、明示的閉形式が存在する。
• $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ 上の除数クラスによる量子乗法作用素は完全に計算され、$q = -e^{iu}$ の変換のもとで $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ 上のそれらと一致することが示された。
• 等変チエン＝ルアンコホモロジー $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ と等変コホモロジー $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ の間には線形同型 $L$ が存在し、次数、ペアリング、除数による量子積をすべて保存する。
• クレパント解消予想は $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ と $\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$ に対して成立する：すべての拡張多点関数が $L$ で保存され、$q = -e^{iu}$ が主要な変換である。
• $[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$ の量子コホモロジーは、$\mathcal{A}_r \times \mathbb{P}^1$ の相対グロモフ＝ウィッテン理論と同値であることが示され、より深い幾何的関係が示唆された。
• 四面体的同値関係が完全に完成した：$[\mathrm{Sym}^n(\mathcal{A}_r)]$-GW、$\mathrm{Hilb}^n(\mathcal{A}_r)$-GW、および $\mathcal{A}_r \times \mathbb{P}^1$ の相対不変量は、すべて $L$ と変数変換 $q = -e^{iu}$ に関して同型である。