[論文レビュー] Ordering without forbidden patterns

Pavol Hell, Bojan Mohar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、頂点数が3以下の禁止順序付きパターンの集合 𝒮 からのいかなる禁止順序付きパターンを含まないグラフの順序付けが可能かどうかを多項式時間で証明可能に判定するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、このようなパターン回避によって定義されるすべてのグラフクラス（二部グラフ、区間グラフ、弦的グラフ、比較可能性グラフなど）を統一的に禁止部分構造による特徴づけで表したことであり、こうした問題の計算量がすべて多項式時間で解けることが解決された。

ABSTRACT

Let F be a set of ordered patterns, i.e., graphs whose vertices are linearly ordered. An F-free ordering of the vertices of a graph H is a linear ordering of V(H) such that none of patterns in F occurs as an induced ordered subgraph. We denote by ORD(F) the decision problem asking whether an input graph admits an F-free ordering; we also use ORD(F) to denote the class of graphs that do admit an F-free ordering. It was observed by Damaschke (and others) that many natural graph classes can be described as ORD(F) for sets F of small patterns (with three or four vertices). Damaschke also noted that for many sets F consisting of patterns with three vertices, ORD(F) is polynomial-time solvable by known algorithms or their simple modifications. We complete the picture by proving that all these problems can be solved in polynomial time. In fact, we provide a single master algorithm, i.e., we solve in polynomial time the problem $ORD_3$ in which the input is a set F of patterns with at most three vertices and a graph H, and the problem is to decide whether or not H admits an F-free ordering of the vertices. Our algorithm certifies non-membership by a forbidden substructure, and thus provides a single forbidden structure characterization for all the graph classes described by some ORD(F) with F consisting of patterns with at most three vertices. Many of the problems ORD(F) with F consisting of larger patterns have been shown to be NP-complete by Duffus, Ginn, and Rodl, and we add two simple examples. We also discuss a bipartite version of the problem, BORD(F), in which the input is a bipartite graph H with a fixed bipartition of the vertices, and we are given a set F of bipartite patterns. We also describe some examples of digraph ordering problems and algorithms. We conjecture that for every set F of forbidden patterns, ORD(F) is either polynomial or NP-complete.

研究の動機と目的

• 頂点数が3以下の禁止順序付きパターンによって定義されるグラフ順序付け問題の計算量を解明すること。
• こうした問題すべてを統一的に扱う1つの証明可能アルゴリズムを提供すること。
• 区間グラフ、弦的グラフ、比較可能性グラフといった有名なグラフクラスを捉える禁止部分構造による特徴づけを提供すること。
• 二部グラフに対して、頂点数が4以下の順序付きパターンを用いた枠組みを拡張し、同様に多項式時間で解けるようにすること。
• すべてのこうしたパターン回避問題が多項式時間で解けるか、あるいはNP完全であると予想すること。

提案手法

• アルゴリズムは、入力グラフに禁止部分構造が存在するかを検査する証明可能アルゴリズムとして動作する。
• 問題を順序制約を含む2-SATに類似た制約充足問題に還元する。
• 禁止集合 𝒮 に属するいかなるパターンも埋め込まない貪欲な頂点順序付け戦略を用いる。
• 有効な順序付けが存在しない場合には、最小の禁止部分構造を特定することで非属性の証明を構築する。
• 二部グラフの場合、頂点数が4以下の順序付き二部パターンへとアルゴリズムを拡張し、多項式実行時間を維持する。
• このアプローチは有向グラフパターンへ一般化され、逆転可能なペアを用いた障害要因の特徴づけフレームワークを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数が3の禁止順序付きパターンによって定義されるすべてのグラフクラスは、多項式時間で認識可能か？
• RQ2 すべてのこうしたグラフクラスを統一的な禁止部分構造特徴づけによって捉える1つの証明可能アルゴリズムが存在するか？
• RQ3 禁止パターンが4以上の場合、順序付け問題の計算量はいかほどか？
• RQ4 この枠組みは、頂点数が4以下の順序付きパターンを用いた二部グラフへ拡張可能か？
• RQ5 すべての禁止パターン集合に対して、順序付け問題が多項式時間で解けるか、あるいはNP完全であると予想できるか？

主な発見

• 頂点数が3以下の禁止順序付きパターンの集合 𝒮 に対して、形式 Ord(𝒮) のすべての問題が多項式時間で解ける。
• 本稿では、任意の 𝒮 ⊆ 𝒮₃ に対して、𝑆-自由な順序付けが存在するかを判定する問題 Ord₃ に対する1つの証明可能アルゴリズムを提供する。
• このアルゴリズムにより、二部グラフ、スプリットグラフ、区間グラフ、適切な区間グラフ、弦的グラフ、比較可能性グラフの認識が統一的に禁止部分構造による特徴づけで得られる。
• 二部グラフの場合、問題 BiOrd₄ に対しても同様の証明可能アルゴリズムを用いて多項式時間で解ける。
• 本稿では、より大きなパターンに対する2つの簡単なNP完全例を提示し、計算量の境界が頂点数3または4の領域に位置することを確認した。
• 著者らは、すべてのこうしたパターン回避問題がPに属するか、あるいはNP完全であると予想しており、計算量の二分岐が存在すると示唆している。