[論文レビュー] p-adic boundary values

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Jan 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p進対称空間上の正則表現の双対と、GL(n,K) 上の局所解析関数から構成される主系列表現の間のp進境界値写像—積分変換—を構成する。これらの変換の像を、G 上の関数の空間として特徴づけ、特定の変換性とハイパージオメトリック型の偏微分方程式系を満たすものとして特定する。これは、SL(2,K) におけるMoritaの結果を一般化し、p進対称空間のde Rhamコホモロジー理論をp進設定で拡張するものである。

ABSTRACT

We study in detail certain natural continuous representations of G = GL(n,K) in locally convex vector spaces over a locally compact, non-archimedean field K of characteristic zero. We construct boundary value maps, or integral transforms, between subquotients of the dual of a ``holomorphic'' representation coming from a p-adic symmetric space, and ``principal series'' representations constructed from locally analytic functions on G. We characterize the image of each of our integral transforms as a space of functions on $G$ having certain transformation properties and satisfying a system of partial differential equations of hypergeometric type. This work generalizes earlier work of Morita, who studied this type of representation of the group SL(2,K). It also extends the work of Schneider-Stuhler on the deRham cohomology of p-adic symmetric spaces. We view this work as part of a general program of developing the theory of such representations.

研究の動機と目的

• 非アーケメデス的体 K 上の完備局所有凸ベクトル空間における GL(n,K) の連続的表現の一般理論を構築すること。
• 正則表現の双対の商表現と主系列表現の間の積分変換（境界値写像）を構成すること。
• これらの変換の像を、G 上の関数の空間として特徴づけ、特定の変換性とハイパージオメトリック型の偏微分方程式系を満たすものとして特定すること。
• SL(2,K) におけるMoritaの先行結果を一般線型群 GL(n,K) に一般化すること。
• Schneider-Stuhlerのp進対称空間のde Rhamコホモロジー枠組みを境界値理論を含む形に拡張すること。

提案手法

• 特性がゼロである非アーケメデス的体 K 上の完備局所有凸ベクトル空間を用いて GL(n,K) の表現を構成する。
• p進対称空間を用いて正則表現を定義し、その双対を考察する。
• 正則表現の双対から主系列表現への積分変換として境界値写像を導入する。
• G 上の局所解析関数を用いて主系列表現を構築する。
• 変換の像を特定するため、ハイパージオメトリック型の偏微分方程式系を導出する。
• p進解析および表現論の技法を用いて、像空間を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(n,K) 上の正則表現から主系列表現へのp進境界値写像の像の構造は何か？
• RQ2 像関数の変換性は、G 上の群作用とどのように関係しているか？
• RQ3 p進設定における積分変換の像を特徴づける偏微分方程式系は何か？
• RQ4 この構成は、SL(2,K) におけるMoritaの結果をどのように GL(n,K) に一般化するか？
• RQ5 この境界値理論は、p進対称空間のde Rhamコホモロジー枠組みをどのように拡張するか？

主な発見

• 各境界値写像の像は、群作用に関して特定の変換性を満たすG 上の関数の空間として正確に特徴づけられる。
• これらの像関数がハイパージオメトリック型の偏微分方程式系を満たすことが示された。
• 構成は、SL(2,K) におけるMoritaの結果を高ランクの場合である GL(n,K) に一般化する。
• 境界値写像は、p進対称空間上の正則表現と主系列表現の間の橋渡しを果たす。
• 境界値構造を組み込むことで、p進対称空間のde Rhamコホモロジー理論が拡張された。
• この方法により、積分変換とPDEを用いたp進表現の研究の新しい枠組みが確立された。