[論文レビュー] $p$-adic Distance, Finite Precision and Emergent Superdeterminism: A Number-Theoretic Consistent-Histories Approach to Local Quantum Realism

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p$-進距離を用いた数論的制約から自然に超決定論が生じる、局所的因果的で現実主義的な量子理論——不変集合理論——を提案する。ヒルベルト空間のベクトルを余弦関数などの超越関数の有限ビット表現によって再解釈することで、実験者自由意志を損なわず、ベル不等式の破れを説明する。これは測定問題と量子重力の新たな非陰謀的解決を提供する。

ABSTRACT

Although the notion of superdeterminism can, in principle, account for the violation of the Bell inequalities, this potential explanation has been roundly rejected by the quantum foundations community. The arguments for rejection, one of the most substantive coming from Bell himself, are critically reviewed. In particular, analysis of Bell's argument reveals an implicit unwarranted assumption: that the Euclidean metric is the appropriate yardstick for measuring distances in state space. Bell's argument is largely negated if this yardstick is instead based on the alternative $p$-adic metric. Such a metric, common in number theory, arises naturally when describing chaotic systems which evolve precisely on self-similar invariant sets in their state space. A locally-causal realistic model of quantum entanglement is developed, based on the premise that the laws of physics ultimately derive from an invariant-set geometry in the state space of a deterministic quasi-cyclic mono-universe. Based on this, the notion of a complex Hilbert vector is reinterpreted in terms of an uncertain selection from a finite sample space of states, leading to a novel form of `consistent histories' based on number-theoretic properties of the transcendental cosine function. This leads to novel realistic interpretations of position/momentum non-commutativity, EPR, the Bell Theorem and the Tsirelson bound. In this inherently holistic theory - neither conspiratorial, retrocausal, fine tuned nor nonlocal - superdeterminism is not invoked by fiat but is emergent from these `consistent histories' number-theoretic constraints. Invariant set theory provides new perspectives on many of the contemporary problems at the interface of quantum and gravitational physics, and, if correct, may signal the end of particle physics beyond the Standard Model.

研究の動機と目的

• 量子基礎学界で広く拒否されているにもかかわらず、超決定論を量子力学の妥当な基礎と再評価すること。
• 状態空間におけるユークリッド距離を$p$-進距離に置き換えることで、局所実在論とベル不等式の破れの間の緊張を解消すること。
• 量子力学が、局所的因果性を保ちながら、決定論的でフラクタルな状態空間幾何学の特異極限として生じることを理論化すること。
• 有限の実験精度と数論的不整合性に基づいて、量子非局所性と実験者自由意志を両立させること。
• 量子重力とダークエネルギーが、決定論的で準周期的宇宙の状態空間における不変集合の幾何学から生じることを提案すること。

提案手法

• 状態空間における基本的距離測度として、ベルの元々の議論で仮定されたユークリッド距離に代えて、$p$-進距離を用いる。
• 宇宙を、自己同様の不変集合$I_U$上を進化する決定論的で準周期的な系としてモデル化し、これは局所的に$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{R}$に同相である。ここで$\mathbb{Z}_2$は2進整数である。
• 量子状態を$2^N$ビット文字列の有限サンプル空間からの不確実な選択として表現し、複素ヒルベルトベクトルと余弦関数の数論的性質を結びつける。
• 具体的には、$\cos\phi$と$\phi/\pi$のビットによる有限記述可能性という数論的制約を適用し、互いに矛盾しない一貫した歴史を定義する。
• フラクタルパラメータ$N \to \infty$における特異極限として、シュレーディンガー方程式とディラック方程式を導出し、量子力学が決定論的かつ有限精度の力学から生じることを示す。
• 量子デコherenceは、混合されたラティス型の力学によってモデル化され、軌道が不変集合上に自然にクラスタリングし、測定固有状態の物理的基盤を形成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間の距離測度をユークリッドから$p$-進に再定義すれば、超決定論が非陰謀的で実行可能である量子非局所性の説明として成立するか？
• RQ2 微調整や後向き原因論を必要とせず、局所実在論を保ちながらもベル不等式の破れを実現する方法は何か？
• RQ3 有限の実験精度が、決定論的量子理論内での実験者自由意志の維持に果たす役割は何か？
• RQ4 余弦関数のような超越関数の数論的性質が、量子力学の構造と一貫した歴史をどのように生じさせるか？
• RQ5 量子重力とダークエネルギーは、決定論的でフラクタルな状態空間不変集合の幾何学的構造から生じる可能性があるか？

主な発見

• ベル不等式の破れは、非局所性や陰謀的要因によるものではなく、$\cos\phi$と$\phi/\pi$の有限ビット記述の間の数論的不整合性に起因する。これらはほとんど常に互いに排他的である。
• 有限精度のため、$\cos\phi$が有限に記述可能かどうかを直接制御できないため、決定論的でも結果は統計的に予測不可能であり、実験者自由意志は保たれる。
• 複素ヒルベルト空間および関連するシュレーディンガー・ディラック方程式は、フラクタルパラメータ$N \to \infty$における特異極限として生じ、有限$N$は決定論的かつ離散的な理論に対応する。
• 量子デコherenceは、混合されたラティス型の力学によって説明され、軌道が不変集合上にクラスタリングし、測定固有状態の物理的基盤を形成する。
• 宇宙定数が自然に小さいのは、真空揺らぎが重力に結合しないからである。これは不変集合のフラクタル的・測度ゼロの構造に起因し、120桁の大きさの問題を回避する。
• この理論は、標準模型を超える素粒子物理学の終焉を示唆する。重力子を含む粒子は存在せず、代わりに重力はフラクタル状態空間多様体上のクラスタリングの幾何的現象である。